Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de mathcalM(2,2).
S=[lla & b c & d] ; a, b, c, d in R e a d-b c=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial M(2,2) de todas as matrizes 2times2 com entradas reais e o subconjunto
S = a & b c & d : a,b,c,d in R e ad - bc = 0
Para ser subespaço vetorial, S deve conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero está em S. A matriz zero é
O = 0 & 0 0 & 0,
e seu determinante é
det(O) = 0cdot0 - 0cdot0 = 0
Como det(O)=0, temos Oin S.

Passo 3

Checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e Ain S. Então
det(lambda A)=lambda^2det(A)
Como det(A)=0, segue det(lambda A)=lambda^2cdot0=0. Logo lambda Ain S.

Passo 4

Testamos o fechamento sob soma. Considere
A=1 & 0 0 & 0, B=0 & 0 0 & 1
Ambas têm det(A)=0 e det(B)=0, logo A,Bin S. Porém
A+B=1 & 0 0 & 1
tem
det(A+B)=1cdot1-0cdot0=1neq0,
portanto A+Bnotin S. Isso mostra que S não é fechado sob soma.

Resposta

S não é subespaço vetorial de M(2,2).

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