Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as matrizes
com entradas reais e o subconjunto
Para ser subespaço vetorial,
deve conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero está em
. A matriz zero é
e seu determinante é
Como
det(O)=0 , temos
Oin S .
Passo 3
Checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
lambdainR e
Ain S . Então
Como
det(A)=0 , segue
det(lambda A)=lambda^2cdot0=0 . Logo
lambda Ain S .
Passo 4
Testamos o fechamento sob soma. Considere
Ambas têm
det(A)=0 e
det(B)=0 , logo
A,Bin S . Porém
tem
portanto
A+Bnotin S . Isso mostra que
S não é fechado sob soma.