É proposto o uso de uma câmara gravitacional, cujas principais dimensões estão dadas abaixo, para remover material particulado de uma corrente de ar, com temperatura e pressão de 25{ }^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , respectivamente. A densidade do material particulado é 2,31 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e sua concentração na corrente gasosa é de 48 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}. A vazão volumétrica do gás é de 2,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e a distribuição granulométrica do material particulado na corrente gasosa é a seguinte:
Table 1: Tabela 8: Distribuição granulométrica.
\captionsetup{labelformat=empty}
\boldsymbol{d}_{\boldsymbol{p}}(\boldsymbol{\mu \mathrm { m }}) \boldsymbol{\Delta} \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{d p i}}(\mathbf{\%})
0-10 2
10-20 2
20-30 6
30-40 19
40-60 20
60-80 22
80-100 18
100-150 11
Considere a viscosidade do ar nessas condições igual a 1,8 \times 10^{-5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}.s. As principais dimensões da câmara são: Comprimento: \mathrm{L}=14 \mathrm{~m}, Altura: \mathrm{H}=6 \mathrm{~m}, Largura: \mathrm{B}=3 \mathrm{~m}
a) Calcule a eficiência média para cada faixa de tamanho de partículas.
b) Estime a eficiência global da unidade.
c) Calcule a concentração de saída, a massa de partículas coletada e a massa emitida para a atmosfera por dia.
d) Para estas condições, estime o diâmetro mínimo, cuja eficiência é de 100 \%.

Passo 1

O enunciado descreve uma câmara de sedimentação gravitacional para um fluxo de ar a 25{ }^{\circ}\mathrm{C} e 1 atm, com vazão volumétrica Q=2,2\;\mathrm{m^3/s}. As dimensões da câmara são comprimento L=14\;\mathrm{m}, altura H=6\;\mathrm{m} e largura B=3\;\mathrm{m}. A massa específica das partículas é \rho_p=2{,}31\times10^3\;\mathrm{kg/m^3}, a concentração de entrada é C_\mathrm{in}=48\;\mathrm{g/m^3} e a distribuição granulométrica em massa é dada pelas frações percentuais \Delta f_{dpi} conforme a tabela. A viscosidade do ar é \mu=1{,}8\times10^{-5}\;\mathrm{kg/(m\cdot s)}. Vamos usar a lei de Stokes para velocidade de assentamento e a geometria da câmara para calcular eficiência por faixa, eficiência global, concentrações de saída e massas diárias, e o diâmetro crítico de coleta total.

Passo 2

Em regime de Stokes, a velocidade de assentamento de partículas de diâmetro d_p é
v_s \;=\;\frac{(\rho_p-\rho)\,g\,d_p^2}{18\,\mu},
onde \rho\approx1{,}2\;\mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2}. A eficiência de coleta por sedimentação num canal de seção A=B\,H e comprimento L é
\eta \;=\;\frac{v_s\,t}{H} \quad\text{com}\quad t=\frac{L}{U} \quad\text{e}\quad U=\frac{Q}{A}\,.
Fazendo t/H=L/(U\,H)=L\,B/Q, obtemos a expressão simplificada
\eta \;=\;v_s\;\frac{L\,B}{Q} \quad\text{limitada a}\quad \eta\le1.

Passo 3

Calculamos a constante
K=\frac{L\,B}{Q} =\frac{14\;\mathrm{m}\times3\;\mathrm{m}}{2{,}2\;\mathrm{m^3/s}} \approx19{,}09\;\mathrm{s},
e escrevemos
\eta(d_p) =\min\bigl(1,\;v_s\,K\bigr) =\min\!\Bigl(1,\;\frac{(\rho_p-\rho)\,g\,d_p^2}{18\,\mu}\;K\Bigr).
Substituindo números e usando d_p em micrômetros \mu\mathrm{m}, obtém-se
v_s\approx7,0\times10^{-5}\;d_p^2\quad(\mathrm{m/s}),
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\eta\approx1,336\times10^{-3}\;d_p^2,
com d_p em \mu\mathrm{m}.

Passo 4

Para cada intervalo de diâmetro, usamos o diâmetro médio e calculamos \eta:
\begin{aligned} 0\!-\!10\;\mu\mathrm{m} &: d_p=5\;\mu\mathrm{m},\quad \eta=1,336\times10^{-3}\times5^2=0{,}0334,\\\\ 10\!-\!20\;\mu\mathrm{m} &: d_p=15\;\mu\mathrm{m},\quad \eta=1,336\times10^{-3}\times15^2=0{,}3006,\\\\ 20\!-\!30\;\mu\mathrm{m} &: d_p=25\;\mu\mathrm{m},\quad \eta=1,336\times10^{-3}\times25^2=0{,}835,\\\\ 30\!-\!40\;\mu\mathrm{m} &: d_p=35\;\mu\mathrm{m},\quad \eta>1\;\Rightarrow\;\eta=1,\\\\ 40\!-\!60\;\mu\mathrm{m} &: \eta=1,\\\\ 60\!-\!80\;\mu\mathrm{m} &: \eta=1,\\\\ 80\!-\!100\;\mu\mathrm{m} &: \eta=1,\\\\ 100\!-\!150\;\mu\mathrm{m} &: \eta=1. \end{aligned}

Passo 5

A eficiência global média é dada por
\eta_g =\sum_i\Delta f_i\;\eta_i =0{,}02\cdot0{,}0334+0{,}02\cdot0{,}3006+0{,}06\cdot0{,}835 +0{,}19\cdot1+\dots+0{,}11\cdot1 \approx0{,}9568.

Passo 6

A concentração de saída é
C_{\mathrm{out}} =C_{\mathrm{in}}(1-\eta_g) =48\;\mathrm{g/m^3}\times(1-0{,}9568) \approx2{,}08\;\mathrm{g/m^3}.
A vazão de massa de partículas na entrada é
\dot m_{\mathrm{in}} =C_{\mathrm{in}}\,Q =48\;\mathrm{g/m^3}\times2{,}2\;\mathrm{m^3/s} =105{,}6\;\mathrm{g/s},
na saída \dot m_{\mathrm{out}}=2{,}08\;\mathrm{g/m^3}\times2{,}2=4{,}58\;\mathrm{g/s},
e coletada \dot m_{\mathrm{col}}=101{,}02\;\mathrm{g/s}. Por dia 86400\;\mathrm{s}:
m_{\mathrm{in,day}}=105{,}6\times86400\approx9126\;\mathrm{kg},\quad m_{\mathrm{out,day}}=4{,}58\times86400\approx394\;\mathrm{kg},\quad m_{\mathrm{col,day}}=9126-394\approx8732\;\mathrm{kg}.

Passo 7

O diâmetro mínimo que garante \eta=1 satisfaz
1,336\times10^{-3}\,d_{p,\min}^2=1 \quad\Longrightarrow\quad d_{p,\min}=\sqrt{\frac1{1,336\times10^{-3}}}\approx27{,}4\;\mu\mathrm{m}.

Resposta

a) Eficiências por faixa (usando diâmetro médio):
0– 10\mum: 3,34 %
10– 20\mum: 30,06 %
20– 30\mum: 83,5 %
30– 40\mum e acima: 100 %
b) Eficiência global \eta_g\approx95,7\%.
c)
Concentração de saída C_{\mathrm{out}}\approx2,08\;\mathrm{g/m^3}.
Massa coletada por dia \approx8732\;\mathrm{kg/dia}.
Massa emitida por dia \approx394\;\mathrm{kg/dia}.
d) Diâmetro mínimo para coleta total \approx27,4\;\mu\mathrm{m}.

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