Pela propredode calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1 / 2} \sqrt{\frac{3 x^{2}+2 x+1}{x^{2}+2 x}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to\frac12}\sqrt{\frac{3x^{2}+2x+1}{x^{2}+2x}}.
Aqui vamos usar a ideia de continuidade de funções compostas: se o denominador não zera em x=\tfrac12, podemos substituir direto.

Passo 2

Verificamos o denominador em x=\tfrac12:
x^{2}+2x=\left(\tfrac12\right)^{2}+2\!\left(\tfrac12\right) =\tfrac14+1=\tfrac54\neq0.
Logo a função dentro da raiz é contínua em x=\tfrac12 e podemos fazer substituição direta.

Passo 3

Calculamos numerador e denominador separadamente em x=\tfrac12:
3\!\left(\tfrac12\right)^{2}+2\!\left(\tfrac12\right)+1 =\tfrac{3}{4}+1+1=\tfrac{11}{4},
\left(\tfrac12\right)^{2}+2\!\left(\tfrac12\right) =\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{5}{4}.

Passo 4

Formamos o quociente e aplicamos a raiz:
\frac{\tfrac{11}{4}}{\tfrac{5}{4}} =\frac{11}{5},
\sqrt{\frac{11}{5}}

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{11}{5}}

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