1. Propriedade da Multiplicação de Matriz por Escalar: Seja a matriz:
    ll1 & 4 2 & 5
    Verifique se a propriedade da transposta do produto por um escalar é válida para k=-3 :
    (k cdot M)^T=k cdot M^T

Passo 1

Enunciado: verificar se para k = -3 e
M = 1 & 4 2 & 5
vai valer a propriedade (k cdot M)^T = k cdot M^T. Vamos usar a definição de multiplicação por escalar (multiplicar cada elemento por k) e de transposição (trocar linhas por colunas).

Passo 2

Calcular k cdot M aplicando o escalar a cada elemento de M:
-3 cdot M = -3 cdot 1 & 4 2 & 5 = -3 & -12 -6 & -15

Passo 3

Transpor a matriz resultante para obter (kM)^T, trocando linhas por colunas:
(kM)^T = -3 & -12 -6 & -15^T = -3 & -6 -12 & -15

Passo 4

Calcular primeiro M^T e depois multiplicar por k:
M^T = 1 & 4 2 & 5^T = 1 & 2 4 & 5
-3 cdot M^T = -3 cdot 1 & 2 4 & 5 = -3 & -6 -12 & -15

Passo 5

Comparar as duas matrizes obtidas em (kM)^T e kM^T. Ambas são
-3 & -6 -12 & -15
portanto, são iguais e a propriedade se confirma.

Resposta

Sim. Para k=-3 temos (kM)^T = kM^T = -3 & -6 -12 & -15, logo a propriedade é válida.

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