Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(d) n sim m se n<m;

Passo 1

O enunciado define no conjunto dos naturais a relação
;nsim miff n<m.
Precisamos testar as propriedades: reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, usando as definições formais de cada uma.

Passo 2

Verificar reflexividade:
Uma relação R é reflexiva se, para todo n, nRn vale. Aqui isso seria
n<n,
mas ,n<n é sempre falso. Portanto a relação não é reflexiva.

Passo 3

Verificar simetria:
Uma relação R é simétrica se, sempre que nRm, então mRn. Aqui seria:
se n<m então m<n.
Em geral n<m não implica m<n. Logo não há simetria.

Passo 4

Verificar antissimetria:
Uma relação R é antissimétrica se, sempre que nRm e mRn, então n=m.
No nosso caso, n<m e m<n nunca ocorrem simultaneamente, pois não existe par distinto que satisfaça ambas. Assim a condição “se n<m e m<n então n=m” é vacuamente verdadeira. Logo a relação é antissimétrica.

Passo 5

Verificar transitividade:
Uma relação R é transitiva se, sempre que nRm e mRk, então nRk.
Aqui: se n<m e m<k, então certamente n<k (propriedade básica da desigualdade em N). Logo é transitiva.

Resposta

A relação nsim m dada por n<m
não é reflexiva, não é simétrica,
mas é antissimétrica e é transitiva.

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