Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(d)
se
;
(d)
Passo 1
O enunciado define no conjunto dos naturais a relação
.
Precisamos testar as propriedades: reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, usando as definições formais de cada uma.
Precisamos testar as propriedades: reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, usando as definições formais de cada uma.
Passo 2
Verificar reflexividade:
Uma relação é reflexiva se, para todo
,
vale. Aqui isso seria
Uma relação
mas
é sempre falso. Portanto a relação não é reflexiva.
Passo 3
Verificar simetria:
Uma relação é simétrica se, sempre que
, então
. Aqui seria:
se então
.
Em geral não implica
. Logo não há simetria.
Uma relação
se
Em geral
Passo 4
Verificar antissimetria:
Uma relação é antissimétrica se, sempre que
e
, então
.
No nosso caso, e
nunca ocorrem simultaneamente, pois não existe par distinto que satisfaça ambas. Assim a condição “se
e
então
” é vacuamente verdadeira. Logo a relação é antissimétrica.
Uma relação
No nosso caso,
Passo 5
Verificar transitividade:
Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Aqui: se e
, então certamente
(propriedade básica da desigualdade em
). Logo é transitiva.
Uma relação
Aqui: se
Resposta
A relação
dada por
não é reflexiva, não é simétrica,
mas é antissimétrica e é transitiva.
não é reflexiva, não é simétrica,
mas é antissimétrica e é transitiva.