Seja a função para . Pede-se:
a) Mostre, por meio da definição de limite, que
b) Mostre que não existe.
Passo 1
O enunciado define a função por , com . Pede-se:
a) provar, via definição formal, que
b) mostrar que o limite
não existe (em ). Para isso usaremos as definições de limite ao infinito e de limite num ponto.
Passo 2
Definição de limite quando : dizemos que se, para todo , existe tal que, sempre que , temos . Aplicando a f(x)=1/x^n, escrevemos
para todo varepsilon>0;exists M>0;tal que se x>M então |1x^n|<varepsilon ã
Passo 3
Queremos escolher M em função de varepsilon. Note que, se tomarmos
M = (1varepsilon)^1/n,
então, sempre que x>M, segue
|1x^n| = 1x^n < 1M^n = varepsilon
Isso satisfaz a definição, provando que
limxtoinfty1x^n = 0
Passo 4
Agora consideremos o limite em 0^+. A definição de limite finito num ponto diz que limxto 0^+f(x)=L existe se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<x<de<a, temos l|f(x)-Lr|<varepsilon. Suponha, para fins de contradição, que exista um LinR satisfazendo essa definição para f(x)=1/x^n.
Passo 5
Escolha varepsilon=1. Pela suposição, existe de<a>0 tal que 0<x<de<a implica
|1x^n-L|<1
Porém, basta tomar
x0 = minlde<a,;l(L+1r)^-1/nr;/2,
para garantir 0<x0<de<a e simultaneamente
1x0^n > L+1,
o que dá l|1/x0^n-Lr|>1=varepsilon, contradição. Logo não existe LinR que seja limite de f(x) quando xto0^+.
Resposta
a) limxtoinfty1x^n=0.
b) limxto0^+1x^n não existe em R.