Seja f: R^* R a função f(x)=1x^n para n in N. Pede-se:
a) Mostre, por meio da definição de limite, que lim x infty f(x)=0
b) Mostre que lim x 0^+não existe.

Passo 1

O enunciado define a função fcolon R^*toR por f(x)=1x^n, com ninN. Pede-se:
a) provar, via definição formal, que
limxtoinftyf(x)=0
b) mostrar que o limite
limxto 0^+f(x)
não existe (em R). Para isso usaremos as definições de limite ao infinito e de limite num ponto.

Passo 2

Definição de limite quando xtoinfty: dizemos que limxtoinftyf(x)=0 se, para todo varepsilon>0, existe M>0 tal que, sempre que x>M, temos l|f(x)-0r|<varepsilon. Aplicando a f(x)=1/x^n, escrevemos
para todo varepsilon>0;exists M>0;tal que se x>M então |1x^n|<varepsilon ã

Passo 3

Queremos escolher M em função de varepsilon. Note que, se tomarmos
M = (1varepsilon)^1/n,
então, sempre que x>M, segue
|1x^n| = 1x^n < 1M^n = varepsilon
Isso satisfaz a definição, provando que
limxtoinfty1x^n = 0

Passo 4

Agora consideremos o limite em 0^+. A definição de limite finito num ponto diz que limxto 0^+f(x)=L existe se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<x<de<a, temos l|f(x)-Lr|<varepsilon. Suponha, para fins de contradição, que exista um LinR satisfazendo essa definição para f(x)=1/x^n.

Passo 5

Escolha varepsilon=1. Pela suposição, existe de<a>0 tal que 0<x<de<a implica
|1x^n-L|<1
Porém, basta tomar
x0 = minlde<a,;l(L+1r)^-1/nr;/2,
para garantir 0<x0<de<a e simultaneamente
1x0^n > L+1,
o que dá l|1/x0^n-Lr|>1=varepsilon, contradição. Logo não existe LinR que seja limite de f(x) quando xto0^+.

Resposta

a) limxtoinfty1x^n=0.
b) limxto0^+1x^n não existe em R.

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