Seja f: R R uma função tal que |f(x)-f(2)| <= L|x^2-4| para L>0. Mostre, por meio da definição, que f é contínua em 2 .

Passo 1

O enunciado afirma que a função f:RtoR satisfaz
|f(x)-f(2)| <= L,|x^2-4|
para uma constante L>0, e pede para mostrar, pela definição de continuidade, que f é contínua em 2. Vamos usar o critério varepsilon de<a: dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 tal que, sempre que |x-2|<de<a, tenha-se |f(x)-f(2)|<varepsilon.

Passo 2

Começamos usando a desigualdade dada e escrevemos
|f(x)-f(2)| <= L,|x^2-4| = L,|x-2|,|x+2|
Para controlar o fator |x+2|, vamos restringir de<a de modo a manter x próximo de 2.

Passo 3

Escolhemos de<a <= 1. Assim, se |x-2|<de<a, então |x-2|<1 implica
1 < x < 3 Longrightarrow 3 < x+2 < 5 Longrightarrow |x+2|<= 5
Logo
|f(x)-f(2)| <= L,|x-2|,|x+2| <= 5L,|x-2|

Passo 4

Para garantir |f(x)-f(2)|<varepsilon, basta ter
5L,|x-2| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x-2| < varepsilon5L
Definimos então
de<a = min!l1,;varepsilon5Lr
Com essa escolha, se |x-2|<de<a então simultaneamente |x-2|<1 (logo |x+2|<=5) e |x-2|<varepsilon/(5L), garantindo
|f(x)-f(2)| <= 5L,|x-2| < 5Lcdotvarepsilon5L = varepsilon

Resposta

f é contínua em 2.

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