Seja uma função tal que para L>0. Mostre, por meio da definição, que f é contínua em 2 .
Passo 1
O enunciado afirma que a função f:RtoR satisfaz
|f(x)-f(2)| <= L,|x^2-4|
para uma constante L>0, e pede para mostrar, pela definição de continuidade, que f é contínua em 2. Vamos usar o critério varepsilon–de<a: dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 tal que, sempre que |x-2|<de<a, tenha-se |f(x)-f(2)|<varepsilon.
Passo 2
Começamos usando a desigualdade dada e escrevemos
|f(x)-f(2)| <= L,|x^2-4| = L,|x-2|,|x+2|
Para controlar o fator |x+2|, vamos restringir de<a de modo a manter x próximo de 2.
Passo 3
Escolhemos de<a <= 1. Assim, se |x-2|<de<a, então |x-2|<1 implica