Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(e) n sim m se n <= m;

Passo 1

O enunciado define uma relação sim em N por
n sim m se, e somente se, n <= m
Queremos verificar as propriedades básicas de relações:
– reflexividade: forall ninN,,nsim n,
– simetria: forall n,minN,,nsim mRightarrow msim n,
– antissimetria: forall n,minN,,(nsim mland msim n)Rightarrow n=m,
– transitividade: forall n,m,pinN,,(nsim mland msim p)Rightarrow nsim p.

Passo 2

Verificando reflexividade: por definição de <= em N, vale sempre
forall ninN,;n <= n
Logo forall n,;nsim n, ou seja, sim é reflexiva.

Passo 3

Verificando simetria: basta encontrar n,m tais que n<= m mas não m<= n. Por exemplo, 1<=2 porém 2<=1 é falso. Logo sim não é simétrica.

Passo 4

Verificando antissimetria: se n<= m e m<= n, pela ordem em N segue necessariamente n=m. Isso mostra
(nsim mland msim n);Rightarrow;n=m,
portanto sim é antissimétrica.

Passo 5

Verificando transitividade: sabemos que em N a relação <= é transitiva, ou seja, de
n<= m e m<= p
decorre
n<= p
Assim, sim é transitiva.

Resposta

Reflexividade: sim
Simetria: não
Antissimetria: sim
Transitividade: sim

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