Quais das propriedades básicas reflexidade, simetria, antissimetria, transitividade valem para cada uma das relações abaixo, definidas no conjunto dos números naturais?
(e)
se
;
(e)
Passo 1
O enunciado define uma relação
em
por
Queremos verificar as propriedades básicas de relações:
– reflexividade: ,
– simetria: ,
– antissimetria: ,
– transitividade: .
– reflexividade:
– simetria:
– antissimetria:
– transitividade:
Passo 2
Verificando reflexividade: por definição de
em
, vale sempre
Logo
, ou seja,
é reflexiva.
Passo 3
Verificando simetria: basta encontrar
tais que
mas não
. Por exemplo,
porém
é falso. Logo
não é simétrica.
Passo 4
Verificando antissimetria: se
e
, pela ordem em
segue necessariamente
. Isso mostra
portanto
é antissimétrica.
Passo 5
Verificando transitividade: sabemos que em
a relação
é transitiva, ou seja, de
decorre
Assim,
é transitiva.
Resposta
Reflexividade: sim
Simetria: não
Antissimetria: sim
Transitividade: sim
Simetria: não
Antissimetria: sim
Transitividade: sim