Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
y=raizx e^x^2-x(x+1)^2 / 3
42. y=raizx e^x^2-x(x+1)^2 / 3 Rightarrow ln y=ln [x^1 / 2 e^x^2-x(x+1)^2 / 3] Rightarrow
ln y=12 ln x+(x^2-x)+23 ln (x+1) Rightarrow 1y y^prime=12 cdot 1x+2 x-1+23 cdot 1x+1 Rightarrow
y^prime=y(12 x+2 x-1+23 x+3) Rightarrow y^prime=raizx e^x^2-x(x+1)^2 / 3(12 x+2 x-1+23 x+3)

Passo 1

O enunciado nos pede derivar por meio de derivação logarítmica a função
y = raizx,e^,x^2-x,(x+1)^2/3
O conteúdo envolvido é usar a propriedade ln(ab)=ln a+ln b, a regra da cadeia e a derivada de ln.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados e usamos as propriedades de soma e potência:
ln y = lnl(x^1/2 e^x^2-x (x+1)^2/3r)
ln y = tfrac12ln x ;+;(x^2-x);+;tfrac23ln(x+1)

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x, lembrando que
tfracddxln y = y'y. Assim,
y'y = ddxl(tfrac12ln xr) + ddx(x^2-x) + ddxl(tfrac23ln(x+1)r)
Calculamos cada termo:
ddxl(tfrac12ln xr)=12x, ddx(x^2-x)=2x-1, ddxl(tfrac23ln(x+1)r)=23(x+1)
Logo
y'y = 12x ;+;2x-1;+;23(x+1)

Passo 4

Isolamos y' e substituímos y de volta:
y' = yl(12x+2x-1+23(x+1)r)
Como y=raizx,e^,x^2-x,(x+1)^2/3, concluímos:

Resposta

y' = raizx,e^,x^2-x,(x+1)^2/3l(12x+2x-1+23(x+1)r)

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