Questão 2: Uma casca esférica metálica de raio interno 15 cm e raio externo 20 cm está carregada com -3,0 \% \mathrm{C}. Em seu centro, está localizada uma carga puntiforme q=-2,2 pC. Determine:
(0.50 p) (a) o módulo do campo elétrico a uma distância de 10 cm do centro da casca. (0.50 p) (b) o módulo do campo elétrico a uma distância de 18 cm do centro da casca. ( 1,0 \mathrm{p} ) (d) o valor da carga elétrica que se distribui nas superfícies interna e externa da casca esférica.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica metálica com raio interno 15\\ \mathrm{cm} e raio externo 20\\ \mathrm{cm}, carregada com -3{,}0\\ \mu\mathrm{C} (interpretei o valor escrito como -3{,}0\\ \mu\mathrm{C}, isto é -3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}). No centro da casca há uma carga puntiforme q=-2{,}2\\ \mathrm{pC} (isto é q=-2{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{C}).
O que pede o enunciado:
(a) o módulo do campo elétrico a uma distância 10\\ \mathrm{cm} do centro;
(b) o módulo do campo elétrico a uma distância 18\\ \mathrm{cm} do centro;
(d) os valores das cargas que se distribuem nas superfícies interna e externa da casca esférica.
Dados numéricos que usarei:
q = -2{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{C},\qquad Q_{\text{casca}}=-3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
R_{\text{int}}=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m},\qquad R_{\text{ext}}=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Ferramenta principal: Lei de Gauss e comportamento de condutores em equilíbrio eletrostático. Vou explicar isso passo a passo, bem mastigado.
Lei de Gauss (forma integral) diz que a integral do campo elétrico \mathbf{E} pela superfície fechada é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_{0}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Para simetria esférica (campo radial e mesmo em todos os pontos da superfície esférica de raio r) temos
E\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
logo
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{Q_{\text{int}}}{r^{2}}.
Aqui E é o módulo do campo elétrico na distância r do centro, Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da esfera de raio r, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. É comum usar a constante
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Outra ideia importante sobre condutores: em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material condutor é nulo ( E=0 no interior do metal). Isso implica que qualquer carga presente dentro da cavidade induz carga na superfície interna de modo que o campo na espessura do metal se anule; o restante da carga total do condutor aparece na superfície externa.

Passo 3

(a) Campo elétrico a r=10\\ \mathrm{cm} ( r=0{,}10\\ \mathrm{m}).
Observação: 10\\ \mathrm{cm}<15\\ \mathrm{cm}, logo a esfera gaussiana de raio 0{,}10\\ \mathrm{m} está dentro da cavidade vazia; a única carga contida no interior é a carga puntiforme q no centro. Assim Q_{\text{int}}=q.
Usando a fórmula esférica:
E(r)=k\frac{|Q_{\text{int}}|}{r^{2}} = k\frac{|q|}{r^{2}}.
Substituindo os números:
E(0{,}10)=8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{2{,}2\times10^{-12}}{(0{,}10)^{2}}.
Calculemos passo a passo: (0{,}10)^{2}=0{,}01. Então a fração fica \dfrac{2{,}2\times10^{-12}}{0{,}01}=2{,}2\times10^{-10}. Multiplicando:
E(0{,}10)=8{,}988\times10^{9}\times2{,}2\times10^{-10}=1{,}97736\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
E(10\\ \mathrm{cm})\approx 1{,}98\\ \mathrm{N/C}.
Observação física rápida (não pedida, só pra intuir): como q é negativa, o vetor campo aponta radialmente para o centro, mas o enunciado pediu só o módulo.

Passo 4

(b) Campo elétrico a r=18\\ \mathrm{cm} ( r=0{,}18\\ \mathrm{m}).
Aqui 15\\ \mathrm{cm}<18\\ \mathrm{cm}<20\\ \mathrm{cm}, ou seja, o ponto está dentro do material condutor (entre as superfícies interna e externa). Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material condutor é zero:
E(18\\ \mathrm{cm})=0\\ \mathrm{N/C}.
Explicação curta: as cargas livres do metal rearranjam-se de modo que o campo resultante no interior do metal seja nulo.

Passo 5

(d) Cargas distribuídas nas superfícies interna e externa da casca.
Razão física e cálculo:
  • Considere uma superfície gaussiana logo dentro do material condutor, imediatamente na região do metal perto da superfície interna. Nesse ponto o campo dentro do metal deve ser zero. A carga total contida na cavidade (isto é, soma da carga puntiforme q mais qualquer carga na superfície interna da casca) deve ser zero para que o campo no metal seja nulo. Portanto a carga na superfície interna Q_{\text{interna}} satisfaz
q + Q_{\text{interna}} = 0 \quad\Rightarrow\quad Q_{\text{interna}} = -q.
Substituindo o valor de q:
Q_{\text{interna}} = -\bigl(-2{,}2\times10^{-12}\bigr)=+2{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{C}=+2{,}2\\ \mathrm{pC}.
  • A casca metálica tem carga total dada Q_{\text{casca}}=-3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Essa carga total é a soma das cargas nas superfícies interna e externa:
Q_{\text{casca}} = Q_{\text{interna}} + Q_{\text{externa}}.
Logo
Q_{\text{externa}} = Q_{\text{casca}} - Q_{\text{interna}} = -3{,}0\times10^{-6} - 2{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
Calculemos numericamente:
Q_{\text{externa}} = -3{,}0000022\times10^{-6}\\ \mathrm{C}\approx -3{,}0000022\\ \mu\mathrm{C}.
Como 2{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{C} é muito menor que 3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, na prática Q_{\text{externa}}\approx -3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, mas o valor exato acima já inclui a pequena correção proveniente de q.

Resposta

(a) 1{,}98\\ \mathrm{N/C}
(b) 0\\ \mathrm{N/C}
(d) Q_{\text{interna}}=+2{,}2\times10^{-12}\\ \mathrm{C} e Q_{\text{externa}}=-3{,}0000022\times10^{-6}\\ \mathrm{C}

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