Questão 2: Uma casca esférica metálica de raio interno 15 cm e raio externo 20 cm está carregada com
. Em seu centro, está localizada uma carga puntiforme
pC. Determine:
(0.50 p) (a) o módulo do campo elétrico a uma distância de 10 cm do centro da casca. (0.50 p) (b) o módulo do campo elétrico a uma distância de 18 cm do centro da casca. (
) (d) o valor da carga elétrica que se distribui nas superfícies interna e externa da casca esférica.
(0.50 p) (a) o módulo do campo elétrico a uma distância de 10 cm do centro da casca. (0.50 p) (b) o módulo do campo elétrico a uma distância de 18 cm do centro da casca. (
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica metálica com raio interno
e raio externo
, carregada com
(interpretei o valor escrito como
, isto é
). No centro da casca há uma carga puntiforme
(isto é
).
O que pede o enunciado:
(a) o módulo do campo elétrico a uma distância do centro;
(b) o módulo do campo elétrico a uma distância do centro;
(d) os valores das cargas que se distribuem nas superfícies interna e externa da casca esférica.
Dados numéricos que usarei:
O que pede o enunciado:
(a) o módulo do campo elétrico a uma distância
(b) o módulo do campo elétrico a uma distância
(d) os valores das cargas que se distribuem nas superfícies interna e externa da casca esférica.
Dados numéricos que usarei:
Passo 2
Ferramenta principal: Lei de Gauss e comportamento de condutores em equilíbrio eletrostático. Vou explicar isso passo a passo, bem mastigado.
Lei de Gauss (forma integral) diz que a integral do campo elétrico
pela superfície fechada é igual à carga total interna dividida por
:
Para simetria esférica (campo radial e mesmo em todos os pontos da superfície esférica de raio
) temos
logo
Aqui
é o módulo do campo elétrico na distância
do centro,
é a carga total contida dentro da esfera de raio
, e
é a permissividade do vácuo. É comum usar a constante
Outra ideia importante sobre condutores: em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material condutor é nulo (
no interior do metal). Isso implica que qualquer carga presente dentro da cavidade induz carga na superfície interna de modo que o campo na espessura do metal se anule; o restante da carga total do condutor aparece na superfície externa.
Passo 3
(a) Campo elétrico a
(
).
Observação: , logo a esfera gaussiana de raio
está dentro da cavidade vazia; a única carga contida no interior é a carga puntiforme
no centro. Assim
.
Observação:
Usando a fórmula esférica:
Substituindo os números:
Calculemos passo a passo:
. Então a fração fica
. Multiplicando:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
Observação física rápida (não pedida, só pra intuir): como
é negativa, o vetor campo aponta radialmente para o centro, mas o enunciado pediu só o módulo.
Passo 4
(b) Campo elétrico a
(
).
Aqui , ou seja, o ponto está dentro do material condutor (entre as superfícies interna e externa). Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material condutor é zero:
Aqui
Explicação curta: as cargas livres do metal rearranjam-se de modo que o campo resultante no interior do metal seja nulo.
Passo 5
(d) Cargas distribuídas nas superfícies interna e externa da casca.
Razão física e cálculo:
- Considere uma superfície gaussiana logo dentro do material condutor, imediatamente na região do metal perto da superfície interna. Nesse ponto o campo dentro do metal deve ser zero. A carga total contida na cavidade (isto é, soma da carga puntiforme
mais qualquer carga na superfície interna da casca) deve ser zero para que o campo no metal seja nulo. Portanto a carga na superfície interna satisfaz
Substituindo o valor de
:
- A casca metálica tem carga total dada
. Essa carga total é a soma das cargas nas superfícies interna e externa:
Logo
Calculemos numericamente:
Como
é muito menor que
, na prática
, mas o valor exato acima já inclui a pequena correção proveniente de
.
Resposta
(a)
(b)
(d) e
(b)
(d)