Um próton de massa m é projetado numa região de campo magnético uniforme B=B0 z com uma velocidade inicial v=alpha x+beta z
a) Encontre as equações diferenciais que o vetor posição r=x x+y y+z z deve satisfazer.
b) Mostre que uma solução dessas equações é:
x=alphaomega sen(omega t) y=alphaomega cos (omega t) z=beta t
Onde omega=e B0m e e é a carga do próton

Passo 1

O enunciado trata de um próton de massa m e carga +e movendo-se em campo magnético uniforme B=B0,z com velocidade inicial v(0)=alpha,x+beta,z. Para descrever o movimento usamos a Lei de Lorentz
m,dvdt=e,vtimesB,
e escrevemos r(t)=x(t),x+y(t),y+z(t),z com v=dotr.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial
vtimesB =(vx,vy,vz)times(0,0,B0) =(vy,B0,,-vx,B0,,0)
Logo a equação de movimento em componentes fica
m,dot vx=e,B0,vy, m,dot vy=-e,B0,vx, m,dot vz=0
Definindo omega=eB0m e usando vi=dot xi, obtemos as equações diferenciais para (x,y,z):
ddot x=omega,dot y, ddot y=-omega,dot x, ddot z=0

Passo 3

Proponha a solução
x(t)=alphaomegasin(omega t), y(t)=alphaomegacos(omega t), z(t)=beta,t
Calcule as derivadas necessárias:
dot x=alphacos(omega t), ddot x=-alphaomegasin(omega t),
dot y=-alphasin(omega t), ddot y=-alphaomegacos(omega t),
dot z=beta, ddot z=0

Passo 4

Substituindo nas equações diferenciais:
ddot x=-alphaomegasin(omega t) = omega,dot y=omegal(-alphasin(omega t)r),
ddot y=-alphaomegacos(omega t) = -omega,dot x=-omegal(alphacos(omega t)r),
ddot z=0=0
As igualdades conferem, mostrando que a proposta satisfaz o sistema com omega=eB0/m e reproduz dot x(0)=alpha, dot y(0)=0, dot z(0)=beta.

Resposta

(a) As equações diferenciais são
ddot x=omega,dot y, ddot y=-omega,dot x, ddot z=0,
com omega=tfraceB0m.
(b) Uma solução é
x(t)=alphaomegasin(omega t), y(t)=alphaomegacos(omega t), z(t)=beta,t

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