6- Um próton (massa de repouso
) apresenta uma energia total que é quatro vezes sua energia de repouso. Calcule:
a) o fator de Lorentz.
b) a energia cinética do próton
c) o módulo do momento linear do próton.
d) a velocidade do próton.
a) o fator de Lorentz.
b) a energia cinética do próton
c) o módulo do momento linear do próton.
d) a velocidade do próton.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- massa de repouso do próton:
. - a energia total do próton é quatro vezes sua energia de repouso; ou seja, se
é a energia total e a energia de repouso, então .
- massa de repouso do próton:
-
O que o enunciado pede:
a) o fator de Lorentz (o chamado);
b) a energia cinética do próton;
c) o módulo do momento lineardo próton;
d) a velocidadedo próton.
Observação: vou usar a velocidade da luz em valor prático para cálculos de prova:
.
Passo 2
Explicação do conceito e cálculo do fator de Lorentz
.
- Definição: a energia total relativística de uma partícula é
onde
é o fator de Lorentz e satisfaz
Aqui
é a massa de repouso,
a velocidade da partícula e
a velocidade da luz.
- No enunciado foi dado que
, e a energia de repouso é . Então
Comparando com
obtemos imediatamente
Passo 3
Cálculo e explicação da energia cinética
.
- Fórmula: a energia cinética relativística é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
Aqui
tem unidades de joule (J) quando
está em kg e
em m/s.
- Substituindo
:
- Agora calcular numericamente usando
e :
Portanto
- Conversão para elétron-volt (útil em física de partículas):
. Assim
Passo 4
Cálculo e explicação do momento linear
.
- Relação energia-momento na relatividade especial:
onde
é o módulo do momento linear (unidade SI:
).
- Queremos
, então isolamos:
- Como
, fazemos:
Assim
- Cálculo numérico:
Logo
Passo 5
Cálculo e explicação da velocidade
.
- Usamos a relação entre
e :
- Com
:
Portanto
- Valor numérico:
e, com
,
Interpretação física: o próton está indo muito próximo da velocidade da luz (cerca de
de
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(isto é,
)