6- Um próton (massa de repouso m_{0}=1,67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) apresenta uma energia total que é quatro vezes sua energia de repouso. Calcule:
a) o fator de Lorentz.
b) a energia cinética do próton
c) o módulo do momento linear do próton.
d) a velocidade do próton.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa de repouso do próton: m_{0}=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    • a energia total do próton é quatro vezes sua energia de repouso; ou seja, se E é a energia total e E_{0} a energia de repouso, então E=4E_{0}.
  • O que o enunciado pede:
    a) o fator de Lorentz (o chamado \gamma);
    b) a energia cinética do próton K;
    c) o módulo do momento linear p do próton;
    d) a velocidade v do próton.
Observação: vou usar a velocidade da luz em valor prático para cálculos de prova: c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Explicação do conceito e cálculo do fator de Lorentz \gamma.
  • Definição: a energia total relativística de uma partícula é
E=\gamma m_{0}c^{2},
onde
\gamma é o fator de Lorentz e satisfaz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui m_{0} é a massa de repouso, v a velocidade da partícula e c a velocidade da luz.
  • No enunciado foi dado que E=4E_{0}, e a energia de repouso é E_{0}=m_{0}c^{2}. Então
E = 4 m_{0}c^{2}.
Comparando com E=\gamma m_{0}c^{2} obtemos imediatamente
\gamma=4.

Passo 3

Cálculo e explicação da energia cinética K.
  • Fórmula: a energia cinética relativística é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
K = E - m_{0}c^{2} = (\gamma-1)m_{0}c^{2}.
Aqui K tem unidades de joule (J) quando m_{0} está em kg e c em m/s.
  • Substituindo \gamma=4:
K=(4-1)m_{0}c^{2}=3\,m_{0}c^{2}.
  • Agora calcular numericamente usando m_{0}=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} e c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
m_{0}c^{2}=1{,}67\times10^{-27}\times(3{,}00\times10^{8})^{2} =1{,}67\times10^{-27}\times9{,}00\times10^{16} =1{,}503\times10^{-10}\\ \mathrm{J}.
Portanto
K=3\times1{,}503\times10^{-10}=4{,}509\times10^{-10}\\ \mathrm{J}.
  • Conversão para elétron-volt (útil em física de partículas): 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim
K=\frac{4{,}509\times10^{-10}}{1{,}602\times10^{-19}}\approx2{,}814\times10^{9}\\ \mathrm{eV}=2{,}814\\ \mathrm{GeV}.

Passo 4

Cálculo e explicação do momento linear p.
  • Relação energia-momento na relatividade especial:
E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2},
onde p é o módulo do momento linear (unidade SI: \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • Queremos p, então isolamos:
p=\frac{1}{c}\sqrt{E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}.
  • Como E=4m_{0}c^{2}, fazemos:
E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}=(4m_{0}c^{2})^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}=(16-1)m_{0}^{2}c^{4}=15\,m_{0}^{2}c^{4}.
Assim
p=\frac{\sqrt{15}\,m_{0}c^{2}}{c}=\sqrt{15}\,m_{0}c.
  • Cálculo numérico:
m_{0}c=1{,}67\times10^{-27}\times3{,}00\times10^{8}=5{,}01\times10^{-19}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Logo
p=\sqrt{15}\times5{,}01\times10^{-19}\approx3{,}87298\times5{,}01\times10^{-19}\approx1{,}94\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Cálculo e explicação da velocidade v.
  • Usamos a relação entre \gamma e v:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
  • Com \gamma=4:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Portanto
v=c\frac{\sqrt{15}}{4}.
  • Valor numérico:
\frac{v}{c}\approx\frac{3{,}87298}{4}=0{,}968245\ldots
e, com c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
v\approx0{,}96825\times3{,}00\times10^{8}=2{,}90\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física: o próton está indo muito próximo da velocidade da luz (cerca de 96{,}8\% de c).

Resposta

(a) \gamma=4
(b) K=4{,}509\times10^{-10}\\ \mathrm{J}\approx2{,}81\\ \mathrm{GeV}
(c) p\approx1{,}94\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(d) v\approx2{,}90\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (isto é, v\approx0{,}968\,c)

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