(Prova 2016.1) Um certo tipo de partícula se divide em 0,1 ou 2 novas partículas (que serão chamadas de descendentes) com probabilidades 30 %, 40 % e 30 %, respectivamente, e depois se desintegra. As partículas na mesma geração agem independentes entre si. Dado uma partícula, seja X1 o número de seus descendentes e seja X2 o número de descendentes dos seus descendentes.
a) Encontre a distribuição conjunta de X1 e X2.
b) Calcule P(X2=0 mid X1=i), parai =0,1,2.
c) Calcule P(X2=0)

Passo 1

O enunciado descreve um processo de Galton–Watson em que cada partícula gera 0, 1 ou 2 descendentes com probabilidades
p0 = 0,3, p1 = 0,4, p2 = 0,3,
e depois desaparece. Definimos X1 como o número de descendentes da partícula inicial e X2 como o número de descendentes da geração 1 (ou seja, netos da partícula original). Vamos obter
  1. a distribuição conjunta de (X1,X2),
  2. as probabilidades condicionais P(X2=0 mid X1=i) para i=0,1,2,
  3. a probabilidade marginal P(X2=0).

Passo 2

Como as partículas da geração 1 agem independentemente e têm a mesma lei de reprodução, temos, para todo
onde são iid com
Logo:
1. Se , não há partículas para gerar netos, então
2. Se e
3. Se , então , e a distribuição é a convolução:
Calculando os termos não-nulos:

Passo 3

Pela definição de probabilidade condicional,
P(X1=i,X2=j)=P(X1=i),P(X2=jmid X1=i)
Como
P(X1=0)=0,3, P(X1=1)=0,4, P(X1=2)=0,3,
obtemos os únicos pares (i,j) de probabilidade não-nula:
P(X1=0,X2=0)&=0,3cdot1=0,30, P(X1=1,X2=j)&=0,4cdot pj, j=0,1,2, P(X1=2,X2=k)&=0,3cdot P(X2=kmid X1=2), k=0,1,2,3,4

Passo 4

Da distribuição condicional já calculada:
P(X2=0mid X1=0)=1, P(X2=0mid X1=1)=p0=0,3, P(X2=0mid X1=2)=0,09

Passo 5

Usando a Lei da Probabilidade Total,
P(X2=0) =sumi=0^2P(X1=i),P(X2=0mid X1=i) =0,3cdot1+0,4cdot0,3+0,3cdot0,09=0,447

Resposta

a) Para i=0,1,2 e j>=0,
P(X1=i,X2=j)=P(X1=i),P(X2=jmid X1=i),
com P(X1) dada por
P(X1=0)=0,3, P(X1=1)=0,4, P(X1=2)=0,3
e P(X2=cdotmid X1=i) obtida no Passo 2.
b)
P(X2=0mid X1=0)=1, P(X2=0mid X1=1)=0,3, P(X2=0mid X1=2)=0,09
c)
P(X2=0)=0,447

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