(Prova 2016.1) Um certo tipo de partícula se divide em 0,1 ou 2 novas partículas (que serão chamadas de descendentes) com probabilidades e , respectivamente, e depois se desintegra. As partículas na mesma geração agem independentes entre si. Dado uma partícula, seja o número de seus descendentes e seja o número de descendentes dos seus descendentes.
a) Encontre a distribuição conjunta de e .
b) Calcule , parai .
c) Calcule
Passo 1
O enunciado descreve um processo de Galton–Watson em que cada partícula gera , ou descendentes com probabilidades
e depois desaparece. Definimos como o número de descendentes da partícula inicial e como o número de descendentes da geração 1 (ou seja, netos da partícula original). Vamos obter
a distribuição conjunta de ,
as probabilidades condicionais para ,
a probabilidade marginal .
Passo 2
Como as partículas da geração 1 agem independentemente e têm a mesma lei de reprodução, temos, para todo
onde são iid com
Logo:
1. Se , não há partículas para gerar netos, então
2. Se e
3. Se , então , e a distribuição é a convolução:
Calculando os termos não-nulos:
Passo 3
Pela definição de probabilidade condicional,
P(X1=i,X2=j)=P(X1=i),P(X2=jmid X1=i)
Como
P(X1=0)=0,3, P(X1=1)=0,4, P(X1=2)=0,3,
obtemos os únicos pares (i,j) de probabilidade não-nula: