Uma prova é composta de 15 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão, sendo uma correta. Para que um aluno seja aprovado é necessário que ele acerte pelo menos 80 % da prova. Se ele errar 60 % da prova ou mais, será reprovado. Caso contrário, o aluno deverá realizar uma prova final. Sabendo que a note dessa prova varia de 0 a 10, determine:
a) Qual a probabilidade de um aluno que faz esta prova no aleatoriamente “chute” ter que realizar a prova final?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma prova de 15 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e somente uma correta. Um aluno que chuta aleatoriamente tem probabilidade p=1/5 de acertar cada questão, independentemente das outras. A prova é aprovada se ele acertar pelo menos 80% das questões, reprovado se errar 60% ou mais, e no caso intermediário (nem aprovado nem reprovado) ele faz prova final. Vamos modelar o número de acertos pela distribuição binomial e calcular a probabilidade de ir para a prova final.

Passo 2

Seja X o número de questões acertadas. Então
Xsim Binomial(n=15,;p=0,2)

Passo 3

Para achar os pontos de corte:
– Aprovado se acertar pelo menos 80% de 15 questões, isto é,
X>= 0,8times15 =12
– Reprovado se errar 60% ou mais, isto é, errar pelo menos 0,6times15=9 questões, o que equivale a
X<= 15-9 =6
Logo, o aluno fará prova final exatamente quando
7 <= X <= 11

Passo 4

A probabilidade de X=k é
P(X=k)=binom15k(0,2)^k(0,8)^15-k
Então a probabilidade de ir para a prova final é
P(7<= X<=11) =sumk=7^11binom15k(0,2)^k(0,8)^15-k

Passo 5

Calculando numericamente cada termo e somando, obtemos aproximadamente
P(7<= X<=11)approx0,01806

Resposta

A probabilidade de um aluno que chuta ter que realizar a prova final é aproximadamente 0,0181 (1,81 %).

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