Uma prova é composta de 5 questões de múltipla escolha com 4 alternativas por questão, sendo uma correta. Para que um aluno seja aprovado é necessário que ele acerte pelo menos 60 % da prova. Se ele errar 80 % da prova ou mais, será reprovado.
a) Qual a probabilidade de um aluno que faz esta prova no aleatoriamente “chute” ser reprovado?

Passo 1

O enunciado descreve uma prova com 5 questões de múltipla escolha (cada uma com 4 alternativas, só 1 correta). O aluno chuta aleatoriamente, logo a probabilidade de acerto em cada questão é p=tfrac14 e de erro é q=1-p=tfrac34. Diz-se que o aluno é reprovado se errar pelo menos 80% da prova, ou seja, se errar 4 ou 5 questões.

Passo 2

Modelamos o número de erros Y como variável aleatória binomial de parâmetros n=5 e q=tfrac34. Assim,
P(Y=k)=binom5kl(tfrac34r)^kl(tfrac14r)^5-k

Passo 3

Queremos
P(reprovado)=P(Y>=4)=P(Y=4)+P(Y=5)
Usando a fórmula da binomial:

Passo 4

P(Y=4)=binom54l(tfrac34r)^4l(tfrac14r)^1 =5cdot3^44^4cdot14 =4051024,
P(Y=5)=binom55l(tfrac34r)^5l(tfrac14r)^0 =2431024
Somando,
P(reprovado) =4051024+2431024 =6481024 =81128 approx0,6328125

Resposta

A probabilidade de o aluno ser reprovado chutando é 81128approx0,6328.

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