(Prova Final 2018.1) Durante determinado período, um escritório de tecnologia da informação de uma universidade recebeu 20 ordens de serviço de problemas com impressoras, das quais 8 de impressoras a laser e 12 a jato de tinta. Uma amostra de 5 dessas ordens de serviço será selecionada para inclusão em uma pesquisa de satisfação do cliente. Suponha que as 5 sejam selecionadas de forma completamente aleatória para que qualquer subconjunto de tamanho 5 tenha a mesma possibilidade de ser selecionado (imagine colocar os números
em 20 tarjas de papel, misturá-las e escolher cinco delas). Qual será a probabilidade de exatamente
ou 5
das ordens de serviço selecionadas serem de impressoras a jato de tinta?
Passo 1
O enunciado descreve um cenário de amostragem sem reposição: há
ordens de serviço, das quais
são de impressoras a jato de tinta (sucessos) e
de impressoras a laser (fracassos). Seleciona-se aleatoriamente uma amostra de tamanho
sem reposição e queremos a probabilidade de obter exatamente
ordens de jato de tinta na amostra, para
. O conteúdo a aplicar é a distribuição hipergeométrica.
Passo 2
Na distribuição hipergeométrica, se
é o total de itens,
o número de sucessos no total,
o tamanho da amostra e
a quantidade de sucessos na amostra, então
Aqui temos
,
,
e queremos
.
Passo 3
Aplicando os valores específicos, o numerador conta as formas de escolher
ordens de jato de tinta dentre as
e
ordens de laser dentre as
. O denominador conta todas as formas de escolher
ordens dentre as
. Logo,
Passo 4
Para referência,
mas podemos deixar a resposta na forma combinatória, que já é a expressão procurada para cada
.