(Prova Final 2018.1) Durante determinado período, um escritório de tecnologia da informação de uma universidade recebeu 20 ordens de serviço de problemas com impressoras, das quais 8 de impressoras a laser e 12 a jato de tinta. Uma amostra de 5 dessas ordens de serviço será selecionada para inclusão em uma pesquisa de satisfação do cliente. Suponha que as 5 sejam selecionadas de forma completamente aleatória para que qualquer subconjunto de tamanho 5 tenha a mesma possibilidade de ser selecionado (imagine colocar os números 1,2, \ldots, 20 em 20 tarjas de papel, misturá-las e escolher cinco delas). Qual será a probabilidade de exatamente x(x=0,1,2,3,4 ou 5 ) das ordens de serviço selecionadas serem de impressoras a jato de tinta?

Passo 1

O enunciado descreve um cenário de amostragem sem reposição: há 20 ordens de serviço, das quais 12 são de impressoras a jato de tinta (sucessos) e 8 de impressoras a laser (fracassos). Seleciona-se aleatoriamente uma amostra de tamanho n=5 sem reposição e queremos a probabilidade de obter exatamente x ordens de jato de tinta na amostra, para x=0,1,2,3,4,5. O conteúdo a aplicar é a distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, se N é o total de itens, K o número de sucessos no total, n o tamanho da amostra e X a quantidade de sucessos na amostra, então
P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\,\binom{N-K}{\,n-x\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui temos N=20, K=12, n=5 e queremos P(X=x).

Passo 3

Aplicando os valores específicos, o numerador conta as formas de escolher x ordens de jato de tinta dentre as 12 e 5-x ordens de laser dentre as 8. O denominador conta todas as formas de escolher 5 ordens dentre as 20. Logo,
P(X=x)=\frac{\binom{12}{x}\,\binom{8}{5-x}}{\binom{20}{5}}.

Passo 4

Para referência,
\binom{20}{5}=15504,
mas podemos deixar a resposta na forma combinatória, que já é a expressão procurada para cada x=0,1,2,3,4,5.

Resposta

P(X=x)=\frac{\binom{12}{x}\,\binom{8}{5-x}}{\binom{20}{5}}, \quad x=0,1,2,3,4,5.

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