Prova individual. Não consulte a solução de outro discente.
  1. (Valor 3.5 pts) Seu quarto está próximo a uma fonte de energia geotérmica e você resolve aproveitar isto para aquecimento durante o inverno. Para tanto, de manhã insere esferas de metal na terra, e no fim da tarde elas atingem a temperatura uniforme de \mathrm{T}_{\mathrm{gt}}=300 C. Após desenterrá-las, você as transporta para o seu quarto. Você consegue carregar \mathrm{M}=40 \mathrm{~kg} de metal e a viagem dura \tau_{\text {travel }}=30 minutos. Por fim, as esferas colocadas em seu quarto, ajudam a aquecê-lo a medida que resfriam durante um período de \boldsymbol{\tau}_{\text {night }}=6 horas. Admita que o coeficiente de transferência de calor por convecção é h=20 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e a temperatura do ambiente é \mathrm{T}_{\text {amb }}=10 \mathrm{C}. A condutividade térmica do metal é \mathrm{k}= 80 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}), a densidade \rho=9000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e \mathrm{c}=1000 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}). Deseja-se investigar qual tamanho de esfera que produzirá melhores resultados.
    a) Calcule a energia perdida pelas esferas durante a viagem, i.e, \mathrm{t}=0 até \boldsymbol{\tau}_{\text {travel }},para diâmetros de 1,5 \mathrm{e} 10 cm . Baseado nos resultados anteriores é melhor utilizar esferas menores ou maiores.
    b) Calcule a energia liberada pelas esferas em seu quarto para diâmetros de 1,5 e 10 cm . Baseado nos resultados anteriores é melhor utilizar esferas menores ou maiores.
    c) Existe um raio de esfera ótimo para este problema ? Explique em termos das constantes de tempo das esferas utilizadas nos itens a) e b)

Passo 1

O enunciado descreve esferas metálicas aquecidas a \mathrm{T}_{\mathrm{gt}}=300\\ ^\circ\mathrm{C}, transportadas em \tau_{\text{travel}}=30\text{ min} até o quarto (temperatura ambiente \mathrm{T}_{\text{amb}}=10\\ ^\circ\mathrm{C}) e depois deixam o calor durante \tau_{\text{night}}=6\text{ h}. Dados: massa total M=40\text{ kg}, coeficiente de convecção h=20\\ \mathrm{W/m^2K}, condutividade k=80\\ \mathrm{W/(mK)}, densidade \rho=9000\\ \mathrm{kg/m^3}, calor específico c=1000\\ \mathrm{J/(kgK)}. Queremos comparar dois diâmetros D=1{,}5\\ \mathrm{cm} e D=10\\ \mathrm{cm} para (a) energia perdida na viagem e (b) energia liberada de noite, e (c) achar um raio ótimo.

Passo 2

Verificamos que o número de Biot é muito pequeno em ambos os casos, pois
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k},\quad L_c=\frac{V}{A}=\frac{r}{3},
com r=D/2. Para D=0{,}015\\ \mathrm{m}, L_c=0{,}0025\\ \mathrm{m} e \mathrm{Bi}\approx0{,}000625\ll0{,}1; para D=0{,}10\\ \mathrm{m}, L_c\approx0{,}0167\\ \mathrm{m} e \mathrm{Bi}\approx0{,}00417\ll0{,}1. Logo, vale o modelo de capacidade térmica lumped: a esfera tem temperatura uniforme.

Passo 3

A constante de tempo de resfriamento da esfera é
\tau=\frac{\rho\,c\,V}{h\,A} =\frac{\rho\,c\,(V/A)}{h} =\frac{\rho\,c\,(D/6)}{h} =\frac{\rho\,c\,D}{6h}.
Substituindo \rho=9000, c=1000, h=20:
\tau(D=0{,}015)=0{,}3125\\ \mathrm{h},\quad \tau(D=0{,}10)=2{,}083\\ \mathrm{h}.

Passo 4

Em regime lumped, a temperatura após tempo t é
T(t)=T_{\text{amb}}+(T_{\mathrm{gt}}-T_{\text{amb}})\,e^{-t/\tau}.
Para t=0{,}5\text{ h}:
- D=1{,}5\text{ cm}: T_1=10+290\,e^{-0{,}5/0{,}3125}\approx68{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}.
- D=10\text{ cm}: T_1=10+290\,e^{-0{,}5/2{,}083}\approx238{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}.
A energia perdida na viagem é
Q_{\text{loss}}=M\,c\,(T_{\mathrm{gt}}-T_1).
Calculando:
- Para D=1{,}5\text{ cm}:
Q_{\text{loss}}\approx40\,000\,(300-68{,}6)=9{,}26\times10^6\\ \mathrm{J}.
- Para D=10\text{ cm}:
Q_{\text{loss}}\approx40\,000\,(300-238{,}3)=2{,}47\times10^6\\ \mathrm{J}.
Portanto, esferas maiores perdem menos energia na viagem.

Passo 5

A energia liberada de noite em \tau_{\text{night}}=6\text{ h} é
Q_{\text{night}} =M\,c\,(T_1-T_{\text{end}}), \quad T_{\text{end}}=10+(T_1-10)e^{-6/\tau}.
- Para D=1{,}5\text{ cm}, e^{-6/0{,}3125}\approx0, logo Q_{\text{night}}\approx40\,000\,(68{,}6-10)=2{,}34\times10^6\\ \mathrm{J}.
- Para D=10\text{ cm}, e^{-6/2{,}083}\approx0{,}056, resulta
T_{\text{end}}\approx10+228{,}3\cdot0{,}056\approx22{,}8\\ ^\circ\mathrm{C}, \quad Q_{\text{night}}\approx40\,000\,(238{,}3-22{,}8)=8{,}62\times10^6\\ \mathrm{J}.
Esferas maiores liberam mais energia de noite.

Passo 6

O calor total útil é
Q(\tau)=M\,c\,(T_{\mathrm{gt}}-T_{\text{amb}}) \,e^{-t_{\text{travel}}/\tau} \bigl(1-e^{-\tau_{\text{night}}/\tau}\bigr).
Maximizando em relação a \tau, obtém-se
e^{-\tau_{\text{night}}/\tau}=\frac{t_{\text{travel}}}{t_{\text{travel}}+\tau_{\text{night}}},
de onde
\tau_{\text{ótimo}} =-\frac{\tau_{\text{night}}}{\ln\bigl(t_{\text{travel}}/(t_{\text{travel}}+\tau_{\text{night}})\bigr)} \approx2{,}34\\ \mathrm{h}.ó
Como \tau=\rho c D/(6h), o diâmetro ótimo é
D_{\text{ótimo}} =\frac{6h\,\tau_{\text{ótimo}}}{\rho c} \approx0{,}112\\ \mathrm{m} \quad(r_{\text{ótimo}}\approx0{,}056\\ \mathrm{m}).óóó

Resposta

a) Para D=1{,}5\\ \mathrm{cm}, Q_{\text{loss}}\approx9{,}26\times10^6\\ \mathrm{J}; para D=10\\ \mathrm{cm}, Q_{\text{loss}}\approx2{,}47\times10^6\\ \mathrm{J}. Esferas maiores perdem menos energia na viagem.
b) Para D=1{,}5\\ \mathrm{cm}, Q_{\text{night}}\approx2{,}34\times10^6\\ \mathrm{J}; para D=10\\ \mathrm{cm}, Q_{\text{night}}\approx8{,}62\times10^6\\ \mathrm{J}. Esferas maiores liberam mais energia de noite.
c) Há um diâmetro ótimo dado por \tau=-\tau_{\text{night}}/\ln\bigl(\tau_{\text{travel}}/(\tau_{\text{travel}}+\tau_{\text{night}})\bigr)\approx2{,}34\\ \mathrm{h}, o que leva a D_{\text{ótimo}}\approx0{,}112\\ \mathrm{m} r_{\text{ótimo}}\approx0{,}056\\ \mathrm{m}óó.

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