Prova individual. Não consulte a solução de outro discente.
- (Valor 3.5 pts) Seu quarto está próximo a uma fonte de energia geotérmica e você resolve aproveitar isto para aquecimento durante o inverno. Para tanto, de manhã insere esferas de metal na terra, e no fim da tarde elas atingem a temperatura uniforme de
C. Após desenterrá-las, você as transporta para o seu quarto. Você consegue carregar
de metal e a viagem dura
minutos. Por fim, as esferas colocadas em seu quarto, ajudam a aquecê-lo a medida que resfriam durante um período de
horas. Admita que o coeficiente de transferência de calor por convecção é
e a temperatura do ambiente é
. A condutividade térmica do metal é
, a densidade
, e
. Deseja-se investigar qual tamanho de esfera que produzirá melhores resultados.
a) Calcule a energia perdida pelas esferas durante a viagem, i.e,
até
,para diâmetros de
10 cm . Baseado nos resultados anteriores é melhor utilizar esferas menores ou maiores.
b) Calcule a energia liberada pelas esferas em seu quarto para diâmetros de 1,5 e 10 cm . Baseado nos resultados anteriores é melhor utilizar esferas menores ou maiores.
c) Existe um raio de esfera ótimo para este problema ? Explique em termos das constantes de tempo das esferas utilizadas nos itens a) e b)
a) Calcule a energia perdida pelas esferas durante a viagem, i.e,
b) Calcule a energia liberada pelas esferas em seu quarto para diâmetros de 1,5 e 10 cm . Baseado nos resultados anteriores é melhor utilizar esferas menores ou maiores.
c) Existe um raio de esfera ótimo para este problema ? Explique em termos das constantes de tempo das esferas utilizadas nos itens a) e b)
Passo 1
O enunciado descreve esferas metálicas aquecidas a
, transportadas em
até o quarto (temperatura ambiente
) e depois deixam o calor durante
. Dados: massa total
, coeficiente de convecção
, condutividade
, densidade
, calor específico
. Queremos comparar dois diâmetros
e
para (a) energia perdida na viagem e (b) energia liberada de noite, e (c) achar um raio ótimo.
Passo 2
Verificamos que o número de Biot é muito pequeno em ambos os casos, pois
com
. Para
,
e
; para
,
e
. Logo, vale o modelo de capacidade térmica lumped: a esfera tem temperatura uniforme.
Passo 3
A constante de tempo de resfriamento da esfera é
Substituindo
,
,
:
Passo 4
Em regime lumped, a temperatura após tempo
é
Para
:
- :
.
- :
.
A energia perdida na viagem é
-
-
A energia perdida na viagem é
Calculando:
- Para :
- Para
- Para
:
Portanto, esferas maiores perdem menos energia na viagem.
Passo 5
A energia liberada de noite em
é
- Para
,
, logo
- Para ,
, resulta
- Para
Esferas maiores liberam mais energia de noite.
Passo 6
O calor total útil é
Maximizando em relação a
, obtém-se
de onde
Como
, o diâmetro ótimo é
Resposta
a) Para
,
; para
,
. Esferas maiores perdem menos energia na viagem.
b) Para ,
; para
,
. Esferas maiores liberam mais energia de noite.
c) Há um diâmetro ótimo dado por , o que leva a
.
b) Para
c) Há um diâmetro ótimo dado por