Numa prova de Matemática, havia dois problemas. Ao corrigi-la, o professor responsável determinou que não consideraria questões meio certas. Assim a cada prova só poderia ser atribuído zero, 5 ou 10. Dos alunos, 25 obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10, 25 acertaram o segundo problema e 20 erraram o primeiro problema. O número de alunos que tiraram nota zero é:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
Passo 1
Temos uma prova com dois problemas em que o professor só atribui nota 0 (nenhum acerto), 5 (um acerto) ou 10 (dois acertos). Sabemos que 25 alunos tiraram 5, 10 tiraram 10, 25 acertaram o problema 2 e 20 erraram o problema 1. O conteúdo aqui envolve contar quantos alunos estão em cada categoria usando teoria de conjuntos e a fórmula de inclusão–exclusão.
Passo 2
Vamos chamar de
o número total de alunos. Dos dados:
- 25 alunos tiraram 5 pontos ⇒ exatamente um problema correto.
- 10 alunos tiraram 10 pontos ⇒ ambos os problemas corretos.
- 25 alunos acertaram o problema 2 ⇒
. - 20 alunos erraram o problema 1 ⇒ quem acertou o problema 1 é
.
Passo 3
Pela fórmula de inclusão–exclusão para a união dos conjuntos de quem acertou cada problema temos:
Passo 4
Quem acertou pelo menos um problema são precisamente os alunos que tiraram nota 5 ou 10, ou seja:
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Daí encontramos
Passo 7
O número de alunos que tirou zero pontos é quem não acertou nenhum problema, ou seja,
Resposta
5