Numa prova de Matemática, havia dois problemas. Ao corrigi-la, o professor responsável determinou que não consideraria questões meio certas. Assim a cada prova só poderia ser atribuído zero, 5 ou 10. Dos alunos, 25 obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10, 25 acertaram o segundo problema e 20 erraram o primeiro problema. O número de alunos que tiraram nota zero é:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15

Passo 1

Temos uma prova com dois problemas em que o professor só atribui nota 0 (nenhum acerto), 5 (um acerto) ou 10 (dois acertos). Sabemos que 25 alunos tiraram 5, 10 tiraram 10, 25 acertaram o problema 2 e 20 erraram o problema 1. O conteúdo aqui envolve contar quantos alunos estão em cada categoria usando teoria de conjuntos e a fórmula de inclusão–exclusão.

Passo 2

Vamos chamar de N o número total de alunos. Dos dados:
  • 25 alunos tiraram 5 pontos ⇒ exatamente um problema correto.
  • 10 alunos tiraram 10 pontos ⇒ ambos os problemas corretos.
  • 25 alunos acertaram o problema 2 ⇒ |P2| = 25.
  • 20 alunos erraram o problema 1 ⇒ quem acertou o problema 1 é |P1| = N - 20.

Passo 3

Pela fórmula de inclusão–exclusão para a união dos conjuntos de quem acertou cada problema temos:
|P1 cup P2| = |P1| + |P2| - |P1 cap P2|

Passo 4

Quem acertou pelo menos um problema são precisamente os alunos que tiraram nota 5 ou 10, ou seja:
|P1 cup P2| = 25 + 10 = 35

Passo 5

Substituindo na fórmula:
35 = (N - 20) + 25 - 10 = N - 5

Passo 6

Daí encontramos
N - 5 = 35 implies N = 40

Passo 7

O número de alunos que tirou zero pontos é quem não acertou nenhum problema, ou seja,
N - |P1 cup P2| = 40 - 35 = 5

Resposta

5

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