Prova 1 - Números Complexos

  1. Reduza à forma a+j b a expressão
    \frac{j(1+j)^{2}}{j+1}

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma a + jb a expressão
\frac{j\,(1+j)^{2}}{j+1}.
Vamos usar propriedades de números complexos j^2=-1, expansão de binômio e racionalização de denominador com o conjugado.

Passo 2

Calculamos primeiro (1+j)^{2}. Usando o binômio:
(1+j)^{2} = 1 + 2j + j^{2} = 1 + 2j - 1 = 2j.

Passo 3

Substituindo no numerador:
j \cdot (1+j)^{2} = j \cdot 2j = 2j^{2} = -2.
Portanto a expressão vira
\frac{-2}{1+j}.

Passo 4

Racionalizamos o denominador multiplicando por \frac{1-j}{1-j}:
\frac{-2}{1+j}\cdot\frac{1-j}{1-j} = \frac{-2(1-j)}{(1+j)(1-j)} = \frac{-2(1-j)}{1 - j^{2}} = \frac{-2(1-j)}{1 - (-1)} = \frac{-2(1-j)}{2} = -(1-j).
Expandindo:
-(1-j) = -1 + j.

Resposta

-1 + j

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