Usando as operações elementares sobre matrizes, encontre uma matriz triangular superior semelhante a cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
F= 1 & 0 & 1 3 & 3 & 4 2 & 2 & 3
é semelhante a alguma matriz triangular superior, usando operações elementares (isto equivale a encontrar uma base em que sua representação seja triangular). Para isso, vamos:
calcular o polinômio característico de F;
mostrar que ele não tem raiz múltipla (logo F é diagonalizável sobre C);
concluir que F é semelhante a uma matriz diagonal (que é caso particular de triangular superior).
Verifiquemos se há raízes múltiplas. O polinômio derivado é
chi'F(lambda)=3lambda^2-14lambda+5
O discriminante de chi'F é
De<a' =(-14)^2-4cdot3cdot5=196-60=136>0,
logo chi'F tem duas raízes reais distintas e elas não são raízes de chiF (basta conferir que chiF avaliado nelas não zera). Consequentemente chiF não tem fator quadrático de multiplicidade maior que 1. Isso implica que as três raízes de chiF em C são distintas, e portanto F é diagonalizável sobre C.
Passo 4
Como F é diagonalizável, existe uma matriz invertível P tal que
P^-1FP = D,
onde
D=diag(lambda1,lambda2,lambda3)
é a matriz diagonal cujos elementos são exatamente as três raízes distintas do polinômio
lambda^3-7lambda^2+5lambda-1=0
Uma diagonal é caso particular de matriz triangular superior.
Resposta
Uma matriz triangular superior semelhante a F é, por exemplo, sua forma diagonal sobre C: