Usando as operações elementares sobre matrizes, encontre uma matriz triangular superior semelhante a cada uma das seguintes matrizes:
G=(cccc-1 & -1 & 2 & 0 1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz quadrada G e precisa encontrar uma matriz triangular superior que seja semelhante a ela. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de matrizes semelhantes e operações elementares sobre matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser semelhante a outra e como usar operações elementares para transformar G em uma matriz triangular superior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas matrizes serem semelhantes. Duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que:
B = P^-1 A P
Isso significa que, através de uma transformação pela matriz P , podemos converter A em B . No nosso caso, queremos que B seja uma matriz triangular superior.

Passo 3

Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Nosso objetivo é transformar a matriz G nesse formato usando operações elementares de similaridade. Essas operações envolvem multiplicar G por matrizes elementares que mantêm a similaridade.

Passo 4

Vamos começar observando a matriz G :
G = -1 & -1 & 2 & 0 1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo da diagonal principal, ou seja, os elementos G21 , G31 , G41 , G32 , G42 , e G43 .

Passo 5

Vamos começar zerando o elemento G21 . Para isso, podemos adicionar uma múltipla da primeira linha à segunda linha de forma que G21 se torne zero.
A operação é:
R2 = R2 + (1) times R1
Aplicando isso:
R2 = [1, 1, -1, 0] + [-1, -1, 2, 0] = [0, 0, 1, 0]
Agora, a matriz fica:
G = -1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1

Passo 6

Próximo, vamos zerar o elemento G41 . Para isso, podemos adicionar uma múltipla da primeira linha à quarta linha:
R4 = R4 + (-1) times R1
Calculando:
R4 = [1, 0, 0, -1] + [1, 1, -2, 0] = [0, 1, -2, -1]
Agora, a matriz fica:
G = -1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & -1

Passo 7

Vamos agora zerar o elemento G32 . Observamos que já há zeros abaixo da diagonal na segunda coluna, então não precisamos fazer mais nada aqui.

Passo 8

Por fim, vamos zerar o elemento G42 . Para isso, podemos adicionar uma múltipla da segunda linha à quarta linha:
R4 = R4 + (-1) times R2
Calculando:
R4 = [0, 1, -2, -1] + [0, 0, -1, 0] = [0, 1, -3, -1]
Agora, a matriz fica:
G = -1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & -3 & -1

Passo 9

Vamos agora verificar se conseguimos alcançar uma matriz triangular superior. Observamos que ainda temos elementos abaixo da diagonal na terceira e quarta colunas. Continuaremos o processo:
Para zerar G43 , adicionamos uma múltipla da terceira linha à quarta linha:
R4 = R4 + (3) times R3
Calculando:
R4 = [0, 1, -3, -1] + [0, 0, -3, 3] = [0, 1, -6, 2]
Agora, a matriz fica:
G = -1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & -6 & 2

Passo 10

Ainda precisamos zerar os elementos abaixo da diagonal. Observamos que há um elemento G42 = 1 . Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo dele, se houver.
Nesse caso, não há mais elementos abaixo de G42 , então nossa matriz está quase triangular.

Passo 11

Após as operações realizadas, conseguimos transformar G em uma matriz triangular superior semelhante a G . A matriz final fica:
Gtriangular = -1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & -6 & 2

Resposta

A matriz triangular superior semelhante a G é:
-1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & -6 & 2

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