Quais são os elementos invertíveis de com respeito a adição e a multiplicação induzidas.
Passo 1
Resumo do enunciado: o problema pede para encontrar em os elementos que são invertíveis sob as operações de adição e de multiplicação induzidas. Vamos usar o conceito de grupo abeliano para a adição (inverso aditivo) e o conceito de unidade em anel para a multiplicação (inverso multiplicativo, ou seja, ).
Passo 2
Em com a operação de adição, temos um grupo finito, logo todo elemento tem inverso aditivo, dado por . Portanto, todos os 12 elementos são invertíveis aditivamente.
Passo 3
Para a multiplicação em Z/nZ, uma classe a é invertível (é unidade) se e somente se gcd(a,n)=1. Aqui, n=12.
Passo 4
Basta verificar para a=0,1,2,dots,11 quais satisfazem gcd(a,12)=1. Fazendo isso obtemos como unidades apenas a=1,5,7,11.
Resposta
Invertíveis sob adição: todos os elementos de Z/12Z, i.e. 0,1,dots,11.\nInvertíveis sob multiplicação: as classes 1,5,7,11, pois são exatamente os a tais que gcd(a,12)=1.