Quais são os elementos invertíveis de Z / 12 Z com respeito a adição e a multiplicação induzidas.

Passo 1

Resumo do enunciado: o problema pede para encontrar em Z/12Z os elementos que são invertíveis sob as operações de adição e de multiplicação induzidas. Vamos usar o conceito de grupo abeliano para a adição (inverso aditivo) e o conceito de unidade em anel para a multiplicação (inverso multiplicativo, ou seja, acdotb=1).

Passo 2

Em Z/12Z com a operação de adição, temos um grupo finito, logo todo elemento a tem inverso aditivo, dado por -a=12-a. Portanto, todos os 12 elementos são invertíveis aditivamente.

Passo 3

Para a multiplicação em Z/nZ, uma classe a é invertível (é unidade) se e somente se gcd(a,n)=1. Aqui, n=12.

Passo 4

Basta verificar para a=0,1,2,dots,11 quais satisfazem gcd(a,12)=1. Fazendo isso obtemos como unidades apenas a=1,5,7,11.

Resposta

Invertíveis sob adição: todos os elementos de Z/12Z, i.e. 0,1,dots,11.\nInvertíveis sob multiplicação: as classes 1,5,7,11, pois são exatamente os a tais que gcd(a,12)=1.

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