Provar que as aplicações seguintes são transformações lineares e achar o nucleo e a imagem :
Passo 1
O enunciado pede para provar que a aplicação
é linear e determinar seu núcleo e sua imagem. O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo (Ker) e imagem (Im); vamos usar a representação matricial de g, a definição de linearidade, resolver um sistema linear para achar Ker(g) e estudar o espaço gerado pelas colunas da matriz para Im(g).
Passo 2
Para mostrar que g é linear, observe que cada componente é combinação linear de x,y,z,t. Definimos a matriz
de modo que para todo vetor (x,y,z,t)inR^4 vale
g(x,y,z,t)=Axyzt
Como multiplicação por matriz satisfaz additividade e homogeneidade, concluímos que g é transformação linear.
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos g(x,y,z,t)=(0,0,0), ou seja as equações
x-2y+2z+t=0
x-3y-z=0
t+2z=0
Da terceira vem t=-2z. Substituindo na primeira: x-2y+2z-2z=x-2y=0, logo x=2y. Na segunda: 2y-3y-z=-y-z=0, então z=-y. Assim t=2y. Concluímos
Ker(g)=(2y,y,-y,2y):yinR=span(2,1,-1,2)
Passo 4
Para a imagem, olhamos as colunas de A:
v1=(1,1,0), v2=(-2,-3,0), v3=(2,-1,2), v4=(1,0,1)
Fazendo eliminação ou observando que há três pivôs em A, vemos que as colunas 1,2 e 3 são linearmente independentes e o posto de A é 3. Como o alvo é R^3, segue que