Provar que as aplicações seguintes são transformações lineares e achar o nucleo e a imagem :
lllg: R^4 & & R^3 (x, y, z, t) & & (x-2 y+2 z+t, x-3 y-z, t+2 z)

Passo 1

O enunciado pede para provar que a aplicação
g:R^4toR^3, (x,y,z,t)mapsto(x-2y+2z+t,;x-3y-z,;t+2z)
é linear e determinar seu núcleo e sua imagem. O conteúdo envolve transformações lineares, núcleo (Ker) e imagem (Im); vamos usar a representação matricial de g, a definição de linearidade, resolver um sistema linear para achar Ker(g) e estudar o espaço gerado pelas colunas da matriz para Im(g).

Passo 2

Para mostrar que g é linear, observe que cada componente é combinação linear de x,y,z,t. Definimos a matriz
A= 1 & -2 & 2 & 1 1 & -3 & -1 & 0 0 & 0 & 2 & 1
de modo que para todo vetor (x,y,z,t)inR^4 vale
g(x,y,z,t)=Axyzt
Como multiplicação por matriz satisfaz additividade e homogeneidade, concluímos que g é transformação linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos g(x,y,z,t)=(0,0,0), ou seja as equações
x-2y+2z+t=0
x-3y-z=0
t+2z=0
Da terceira vem t=-2z. Substituindo na primeira: x-2y+2z-2z=x-2y=0, logo x=2y. Na segunda: 2y-3y-z=-y-z=0, então z=-y. Assim t=2y. Concluímos
Ker(g)=(2y,y,-y,2y):yinR=span(2,1,-1,2)

Passo 4

Para a imagem, olhamos as colunas de A:
v1=(1,1,0), v2=(-2,-3,0), v3=(2,-1,2), v4=(1,0,1)
Fazendo eliminação ou observando que há três pivôs em A, vemos que as colunas 1,2 e 3 são linearmente independentes e o posto de A é 3. Como o alvo é R^3, segue que
Im(g)=spanv1,v2,v3=R^3

Resposta

[\
\mathrm{Ker}(g)={(2y,y,-y,2y):y\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(2,1,-1,2)}
\]
$$
\mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}^3
$$

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