Sejam
e
dois espaços vetoriais e
uma transformação linear.
a. Provar que
é um subespaço vetorial de
.
b. Usando a questão a), provar que
é um subespaço vetorial de
.
c. Usando a questão a), provar que
é um subespaço vetorial de
.
d. Provar que
é um subespaço vetorial de
.
a. Provar que
b. Usando a questão a), provar que
c. Usando a questão a), provar que
d. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para usar teoria de transformações lineares e núcleos (kernels) para mostrar que certos conjuntos são subespaços vetoriais. Primeiro vamos provar que, para qualquer transformação linear f: E → F, o conjunto Ker f é um subespaço de E. Depois, usando esse resultado, mostraremos que G⊂ℝ², H⊂ℝ³ e L⊂ℝ⁴ definidos por equações lineares são todos subespaços.
Passo 2
Definimos Ker f = {x∈E | f(x)=0}. Para mostrar que Ker f é subespaço, verificamos: 1) (não-vazio) f(0)=0, logo 0∈Ker f; 2) (fechamento em soma) se u,v∈Ker f então f(u+v)=f(u)+f(v)=0+0=0, logo u+v∈Ker f; 3) (fechamento em escalar) para α∈ℝ e u∈Ker f temos f(αu)=αf(u)=α·0=0, logo αu∈Ker f. Assim Ker f satisfaz as três condições de subespaço.
Passo 3
Para G={ (x,y)∈ℝ² | 3x+y=0 } definimos a transformação linear f:ℝ²→ℝ dada por f(x,y)=3x+y. Então G=Ker f e, pelo passo anterior, G é subespaço de ℝ².
Passo 4
Para H={ (x,y,z)∈ℝ³ | x+y+z=0 } definimos f:ℝ³→ℝ por f(x,y,z)=x+y+z. Novamente H=Ker f e, pelo que já provamos, H é subespaço de ℝ³.
Passo 5
Para L={ (x,y,z,t)∈ℝ⁴ | 3x−y=0 e z+2t=0 } consideramos f:ℝ⁴→ℝ² definida por f(x,y,z,t)=(3x−y, z+2t). L é exatamente Ker f. Como f é linear, Ker f é subespaço de ℝ⁴ segundo o passo (a).
Resposta
Em todos os casos, os conjuntos Ker f, G, H e L são núcleos de transformações lineares e, portanto, subespaços vetoriais de E, ℝ², ℝ³ e ℝ⁴, respectivamente.