Seja
psi: R2[X] & R2[X] P & psi(P)
com psi(P) definido por x in R para todo psi.
a. Provar que psi é bem definida e que psi é uma transformação linear.
b. Achar o nucleo e a imagem de .

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear psi:R2[X]toR2[X] dada por psi(P)(x)=2xcdot P(x)-(x^2+1)cdot P'(x). O conteúdo é transformação linear em espaço de polinômios de grau ≤2 e vamos precisar usar as propriedades de derivada e multiplicação de polinômios.

Passo 2

Começamos mostrando que psi(P) realmente fica em R2[X]. Seja P(x)=ax^2+bx+c. Então P'(x)=2ax+b e
psi(P)(x)=2x(ax^2+bx+c)-(x^2+1)(2ax+b)

Passo 3

Expandindo cada parte:
2x(ax^2+bx+c)=2a x^3+2b x^2+2c x, (x^2+1)(2ax+b)=2a x^3+b x^2+2a x+b

Passo 4

Subtraindo, os termos em x^3 se cancelam e obtemos
psi(P)(x)=(2b-b)x^2+(2c-2a)x - b = b x^2 + 2(c-a)x - b,que é realmente um polinômio de grau ≤2. Assim psi está bem definida.

Passo 5

Agora, para a linearidade, tomemos P,QinR2[X] e escalares alpha,betainR. Usamos que derivada e multiplicação por escalar e soma são lineares:
[\psi(\alpha P+\beta Q)(x)=2x(\alpha P+\beta Q)-(x^2+1)(\alpha P

Resposta

kerpsi=spanx^2+1 e Im,psi=spanx^2-1,,x.

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