Seja
com
definido por
para todo
.
a. Provar que
é bem definida e que
é uma transformação linear.
b. Achar o nucleo e a imagem de
.
a. Provar que
b. Achar o nucleo e a imagem de
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
dada por
. O conteúdo é transformação linear em espaço de polinômios de grau ≤2 e vamos precisar usar as propriedades de derivada e multiplicação de polinômios.
Passo 2
Começamos mostrando que
realmente fica em
. Seja
. Então
e
Passo 3
Expandindo cada parte:
Passo 4
Subtraindo, os termos em
se cancelam e obtemos
Passo 5
Agora, para a linearidade, tomemos
e escalares
. Usamos que derivada e multiplicação por escalar e soma são lineares:
[\psi(\alpha P+\beta Q)(x)=2x(\alpha P+\beta Q)-(x^2+1)(\alpha P