Provar que
é um espaço vetorial, onde
é o espaço da funções continuas de
à valores em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto das funções contínuas de ℝ em ℝ, denotado por
, com as operações ponto a ponto de adição e multiplicação escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. Vamos usar que soma e produto escalar de funções são feitos valor a valor e que soma e produto em ℝ já formam um espaço vetorial.
Passo 2
Precisamos primeiro mostrar o fechamento em relação à soma: se
e
são funções contínuas, então a soma
dada por
também é contínua, pois a soma de números reais contínuos em
é contínua. Logo,
.
Verificamos agora que a adição é associativa e comutativa ponto a ponto, pois para quaisquer e todo
vale
Verificamos agora que a adição é associativa e comutativa ponto a ponto, pois para quaisquer
e
Passo 3
Existe a função zero
dada por
para todo
. Ela é contínua e funciona como elemento neutro:
. Além disso, para cada
definimos
, que é contínua e satisfaz
.
Passo 4
Para multiplicação escalar, dado
e
, a função
definida por
é contínua porque produto em ℝ preserva continuidade. Assim,
.
Ficam as propriedades de compatibilidade:
– Distributividade escalar sobre soma de funções:
Ficam as propriedades de compatibilidade:
– Distributividade escalar sobre soma de funções:
– Distributividade de soma de escalares:
– Associatividade de escalares:
Passo 5
Finalmente, temos o elemento neutro escalar: para todo
,
o que mostra que
atua como identidade. Assim, todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos.
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
e, logo, é um espaço vetorial.