Provar que C^0(R) é um espaço vetorial, onde R é o espaço da funções continuas de R à valores em

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto das funções contínuas de ℝ em ℝ, denotado por C^0( R), com as operações ponto a ponto de adição e multiplicação escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. Vamos usar que soma e produto escalar de funções são feitos valor a valor e que soma e produto em ℝ já formam um espaço vetorial.

Passo 2

Precisamos primeiro mostrar o fechamento em relação à soma: se f e g são funções contínuas, então a soma f+g dada por (f+g)(x)=f(x)+g(x) também é contínua, pois a soma de números reais contínuos em x é contínua. Logo, f+gin C^0( R).
Verificamos agora que a adição é associativa e comutativa ponto a ponto, pois para quaisquer f,g,hin C^0( R) e todo xin R vale
(f+(g+h))(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)=((f+g)+h)(x)
e
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)

Passo 3

Existe a função zero 0colon Rto R dada por 0(x)=0 para todo x. Ela é contínua e funciona como elemento neutro: (f+0)(x)=f(x). Além disso, para cada f definimos (-f)(x)=-f(x), que é contínua e satisfaz f+(-f)=0.

Passo 4

Para multiplicação escalar, dado alphain R e fin C^0( R), a função alpha f definida por (alpha f)(x)=alphacdot f(x) é contínua porque produto em ℝ preserva continuidade. Assim, alpha fin C^0( R).
Ficam as propriedades de compatibilidade:
– Distributividade escalar sobre soma de funções:
l(alpha(f+g)r)(x)=alphal(f(x)+g(x)r)=alpha f(x)+alpha g(x)=(alpha f+alpha g)(x)
– Distributividade de soma de escalares:
l((alpha+beta)fr)(x)=(alpha+beta)f(x)=alpha f(x)+beta f(x)=(alpha f+beta f)(x)
– Associatividade de escalares:
l(alpha(beta f)r)(x)=alphal(beta f(x)r)=(alphabeta)f(x)=((alphabeta)f)(x)

Passo 5

Finalmente, temos o elemento neutro escalar: para todo fin C^0( R),
(1cdot f)(x)=1cdot f(x)=f(x),
o que mostra que 1 atua como identidade. Assim, todos os axiomas de espaço vetorial estão satisfeitos.

Resposta

Portanto, (C^0( R), +, cdot) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R e, logo, é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados