Provar que
é um espaço vetorial, onde
é o espaço dos polinomios
Passo 1
O exercício pede para provar que
é um espaço vetorial sobre
. Isso significa verificar os axiomas: fechamento sob adição e multiplicação escalar, propriedades da adição (comutatividade e associatividade), existência de elemento neutro e inverso aditivo, além das propriedades do produto escalar (distributividades, associatividade escalar e elemento neutro).
Passo 2
Mostramos fechamento sob as operações. Dados os polinômios
definimos
e
Como
e
são reias,
e
pertencem a
, provando o fechamento.
Passo 3
Verificamos as propriedades da adição. Para quaisquer
: a soma de polinômios é feita coeficiente a coeficiente usando a soma em
. Como essa soma é comutativa, temos
e por associatividade em
:
Passo 4
Existe um elemento neutro aditivo e inversos. O polinômio nulo
é tal que
para todo
. Para cada
, seu inverso aditivo é
tais que
.
Passo 5
As propriedades do produto escalar seguem das propriedades de
. Para
e
temos:
e
Cada igualdade é conferida coeficiente a coefiente usando as leis distributivas, associativas e neutro de
.
Passo 6
Como todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial são satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
com as operações usuais de adição e multiplicação escalar satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
, logo é um espaço vetorial.