Provar que (R[X],+, cdot) é um espaço vetorial, onde R[X] é o espaço dos polinomios

Passo 1

O exercício pede para provar que (R[X], +, cdot) é um espaço vetorial sobre R. Isso significa verificar os axiomas: fechamento sob adição e multiplicação escalar, propriedades da adição (comutatividade e associatividade), existência de elemento neutro e inverso aditivo, além das propriedades do produto escalar (distributividades, associatividade escalar e elemento neutro).

Passo 2

Mostramos fechamento sob as operações. Dados os polinômios
p(x)=sumi=0^n ai x^i, q(x)=sumi=0^m bi x^i,
definimos
(p+q)(x)=sumi=0^max(n,m)(ai+bi)x^i
e
(alpha p)(x)=sumi=0^n (alpha ai)x^i
Como ai+bi e alpha ai são reias, p+q e alpha p pertencem a R[X], provando o fechamento.

Passo 3

Verificamos as propriedades da adição. Para quaisquer p,q,rinR[X]: a soma de polinômios é feita coeficiente a coeficiente usando a soma em R. Como essa soma é comutativa, temos
p+q=q+p,
e por associatividade em R:
(p+q)+r=p+(q+r)

Passo 4

Existe um elemento neutro aditivo e inversos. O polinômio nulo
0(x)=0
é tal que p+0=p para todo p. Para cada p(x)=sumi=0^n ai x^i, seu inverso aditivo é
(-p)(x)=sumi=0^n (-ai)x^i,
tais que p+(-p)=0.

Passo 5

As propriedades do produto escalar seguem das propriedades de R. Para alpha,betainR e p,qinR[X] temos:
alpha(p+q)=alpha p+alpha q,
(alpha+beta)p=alpha p+beta p,
(alphabeta)p=alpha(beta p),
e
1cdot p=p
Cada igualdade é conferida coeficiente a coefiente usando as leis distributivas, associativas e neutro de R.

Passo 6

Como todas as propriedades exigidas pela definição de espaço vetorial são satisfeitas, concluímos que (R[X], +, cdot) é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto R[X] com as operações usuais de adição e multiplicação escalar satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R, logo é um espaço vetorial.

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