Usando o Teorema do Valor Medio com a função
em
, provar que
tende a
quando
tende a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
diverge para +∞ quando n→+∞, usando o Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos trabalhar com f(x)=ln(x), que é contínua em [k,k+1] e diferenciável em (k,k+1), aplicando o TVM em cada intervalo.
Passo 2
Para cada k=1,2,…,n, pelo TVM existe ξ_k∈(k,k+1) tal que
Passo 3
Como ξ_k∈(k,k+1), segue
logo
Passo 4
Somando de k=1 até n essas desigualdades, obtemos
O termo do meio telescopa:
Portanto
Como
quando
, segue que
.
Resposta
S_n\to+\infty\quadquandon\to+\infty