Usando o Teorema do Valor Medio com a função f(x)=ln (x) em [n, n+1], provar que
Sn=sumk=1^n 1k=11+12+13+cdots+1n
tende a +infty quando n tende a +infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série harmônica
Sn=sumk=1^n1k
diverge para +∞ quando n→+∞, usando o Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos trabalhar com f(x)=ln(x), que é contínua em [k,k+1] e diferenciável em (k,k+1), aplicando o TVM em cada intervalo.

Passo 2

Para cada k=1,2,…,n, pelo TVM existe ξ_k∈(k,k+1) tal que
ln(k+1)-ln(k)=f'(ξk),(k+1-k)=1ξk

Passo 3

Como ξ_k∈(k,k+1), segue
1k+1<1ξk<1k,
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1k+1

Passo 4

Somando de k=1 até n essas desigualdades, obtemos
sumk=1^n1k+1
O termo do meio telescopa:
sumk=1^nl(ln(k+1)-ln(k)r)=ln(n+1)-ln(1)=ln(n+1)
Portanto
sumk=1^n1k+1
Como ln(n+1)to+infty quando nto+infty, segue que Snto+infty.

Resposta

S_n\to+\infty\quadquandon\to+\infty

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