Provar que as equações seguintes são exatas e resolver :
2 xy^3+y^2-3 x^2y^4 y^prime=0

Passo 1

A equação dada é 2xy^3+y^2-3x^2y^4,y'=0. Isso é uma EDO que pode ser escrita na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0, ou seja, como M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. O conteúdo é equações exatas e vamos precisar usar o critério de exatidão e depois encontrar uma função potencial.

Passo 2

Identificamos as funções M e N:
M(x,y)=2xy^3,
N(x,y)=y^2-3x^2y^4

Passo 3

Verificamos se a equação é exata calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2xcdot(-3)y^-4=-6xy^4,
partial Npartial x=partialpartial xl(-3x^2y^-4+y^2y^-4r)=-6xy^4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos então uma função potencial Phi(x,y) tal que Phix=M. Integramos M em relação a x:
Phi(x,y)=integral 2xy^3,dx=x^2y^3+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos Phiy=N. Calculamos
Phiy=-3x^2y^-4+h'(y)
e igualamos a
N=y^2-3x^2y^4=y^-2-3x^2y^-4
Daí vem
h'(y)=y^-2,
logo
h(y)=-y^-1

Passo 6

Assim a função potencial é
Phi(x,y)=x^2y^3-1y
A solução geral da equação exata vem de Phi(x,y)=C, com C constante.

Resposta

x^2y^3-1y=C

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