Provar as Formulas
confuntos
, usando que
&
.
;
Passo 1
O enunciado pede para provar a lei associativa da união de conjuntos, ou seja, mostrar que para quaisquer conjuntos
,
e
vale
Para isso usaremos o fato de que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada um está contido no outro:
Passo 2
Provar
.
Seja . Então existem duas possibilidades:
Seja
-
. -
.
— No caso 1, como
, logo
, e daí
.
— No caso 2, temos , então ou
ou
. Se
, então
e assim
. Se
, então direto
.
— No caso 2, temos
Em todos os subcasos,
. Logo
Passo 3
Provar
.
Seja . Então ou
ou
.
Seja
— Se
, então ou
ou
. Em ambos os casos temos
ou
, portanto
(pois em particular
implica
).
— Se , então imediatamente
e assim
.
— Se
Logo
Passo 4
Tendo mostrado as duas inclusões
concluímos, pela definição de igualdade de conjuntos, que