Provar as Formulas forall confuntos A, B, C, usando que D=F Leftrightarrow D subseteq F & F subseteq D.
A cup(B cup C)=(A cup B) cup C;

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei associativa da união de conjuntos, ou seja, mostrar que para quaisquer conjuntos A, B e C vale
A cup (B cup C) ;=; (A cup B) cup C
Para isso usaremos o fato de que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada um está contido no outro:
D = F ;Long<=ftrightarrow; D subseteq F ;wed>=; F subseteq D

Passo 2

Provar A cup (B cup C)subseteq (A cup B)cup C.
Seja xin A cup (B cup C). Então existem duas possibilidades:
  1. xin A.
  2. xin B cup C.
— No caso 1, como xin A, logo xin Acup B, e daí xin (Acup B)cup C.
— No caso 2, temos xin Bcup C, então ou xin B ou xin C. Se xin B, então xin Acup B e assim xin (Acup B)cup C. Se xin C, então direto xin (Acup B)cup C.
Em todos os subcasos, xin (Acup B)cup C. Logo
A cup (B cup C)subseteq (A cup B)cup C

Passo 3

Provar (A cup B)cup C subseteq A cup (B cup C).
Seja xin (Acup B)cup C. Então ou xin Acup B ou xin C.
— Se xin Acup B, então ou xin A ou xin B. Em ambos os casos temos xin A ou xin B, portanto xin Acup (Bcup C) (pois em particular xin B implica xin Bcup C).
— Se xin C, então imediatamente xin Bcup C e assim xin Acup (Bcup C).
Logo
(A cup B)cup C subseteq A cup (B cup C)

Passo 4

Tendo mostrado as duas inclusões
A cup (B cup C)subseteq (A cup B)cup C e (A cup B)cup C subseteq A cup (B cup C),
concluímos, pela definição de igualdade de conjuntos, que
A cup (B cup C) ;=; (A cup B)cup C

Resposta

A cup (B cup C) = (A cup B)cup C

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