Provar as Formulas forall confuntos A, B, C, usando que D=F Leftrightarrow D subseteq F & F subseteq D.
A subseteq B e B subseteq C Rightarrow A subseteq C;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer conjuntos A, B e C, valem as implicações
A subseteq B e B subseteq C ;Longrightarrow; A subseteq C
O que vamos usar é a definição de subconjunto:
D subseteq F ;Long<=ftrightarrow; forall x,(xin D ;Rightarrow; xin F)

Passo 2

Traduzimos as hipóteses em fórmulas lógicas:
  1. A subseteq B significa
forall x;(xin A ;Rightarrow; xin B)
  1. B subseteq C significa
forall x;(xin B ;Rightarrow; xin C)

Passo 3

Para mostrar A subseteq C usamos a definição de subconjunto de novo, exibindo
forall x;(xin A ;Rightarrow; xin C)
Seja então um elemento arbitrário x. Suponha xin A.
Pela hipótese Asubseteq B, de xin A segue xin B.
Em seguida, pela hipótese Bsubseteq C, de xin B segue xin C.
Assim provamos que
xin A ;Longrightarrow; xin C
Como x foi arbitrário, isso vale para todo x, e portanto
forall x;(xin A ;Rightarrow; xin C),
ou seja Asubseteq C.

Resposta

A subseteq B e B subseteq C implicam A subseteq C.

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