Seja M_{2 x 2}(Z), o conjunto cujos elementos são todas as matrizes quadradas de ordem dois cujas entradas são números inteiros. Considere a função f: M_{2 x 2}(Z) \rightarrow R, X \rightarrow f(X):=\operatorname{det}(X).
Essa função está bem definida? Por que?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f: M_{2\times 2}(\mathbb{Z}) \to \mathbb{R} definida por f(X):=\det(X).
Informações relevantes dadas:
M_{2\times 2}(\mathbb{Z})=\{X=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}\}.
O que se pergunta: a função f está bem definida? Ou seja, para todo X do domínio, f(X) existe, é único e pertence ao contradomínio \mathbb{R}?]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar cuidadosamente o que significa “função bem definida”. Uma aplicação f:A\to B está bem definida se, para todo x\in A:
  1. existe um valor f(x) (existência);
  2. esse valor é único (unicidade);
  3. e esse valor pertence ao contradomínio B.
    Nossa tarefa é verificar essas três coisas para f(X)=\det(X).

Passo 3

Escrevemos um elemento genérico do domínio:
X=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}\quad\text{com}\quad a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
A fórmula do determinante de uma matriz 2\times2 é uma expressão simples e bem conhecida:
\det(X)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os números inteiros das entradas da matriz.]

Passo 4

Vamos verificar que \det(X) de fato existe e é um número inteiro. Usamos propriedades básicas dos inteiros:
  • Se a,d\in\mathbb{Z} então ad\in\mathbb{Z} (fechamento da multiplicação em \mathbb{Z}).
  • Se b,c\in\mathbb{Z} então bc\in\mathbb{Z}.
  • A diferença de dois inteiros é um inteiro, logo ad-bc\in\mathbb{Z}.
    Portanto, para qualquer X do domínio a expressão ad-bc é bem definida como um número inteiro.

Passo 5

Verificamos agora que esse valor pertence ao contradomínio \mathbb{R}. Como \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}, qualquer inteiro ad-bc é também um número real. Logo \det(X)\in\mathbb{R} para todo X\in M_{2\times2}(\mathbb{Z}).

Passo 6

Sobre unicidade: a fórmula \det(X)=ad-bc é uma expressão algébrica determinística — dadas as entradas a,b,c,d há exatamente um número que é ad-bc. Não há ambiguidade nem múltiplas escolhas na definição; portanto o valor é único. Sobre existência: a operação de multiplicar e subtrair inteiros sempre produz um inteiro, então o valor sempre existe. Assim, existência e unicidade estão satisfeitas.

Passo 7

Um exemplo concreto para intuição: para
X=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt] 3 & 4\end{pmatrix}
temos
\det(X)=1\cdot 4 - 2\cdot 3 = 4 - 6 = -2,
que é um inteiro e, portanto, um real. Isso ilustra os argumentos gerais acima.]

Passo 8

Conclusão do raciocínio: para todo X\in M_{2\times2}(\mathbb{Z}) a expressão \det(X) existe, é única e pertence a \mathbb{R}. Assim, todas as condições para que f seja uma função bem definida estão satisfeitas.

Resposta

Sim. Porque para X=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix} com a,b,c,d\in\mathbb{Z} temos \det(X)=ad-bc\in\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}, e a expressão ad-bc é única para cada X.]

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