Seja
, o conjunto cujos elementos são todas as matrizes quadradas de ordem dois cujas entradas são números inteiros. Considere a função
.
Essa função está bem definida? Por que?
Essa função está bem definida? Por que?
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O que se pergunta: a função
está bem definida? Ou seja, para todo
do domínio,
existe, é único e pertence ao contradomínio
?]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar cuidadosamente o que significa “função bem definida”. Uma aplicação
está bem definida se, para todo
:
- existe um valor
(existência); - esse valor é único (unicidade);
- e esse valor pertence ao contradomínio
.
Nossa tarefa é verificar essas três coisas para.
Passo 3
Escrevemos um elemento genérico do domínio:
A fórmula do determinante de uma matriz
é uma expressão simples e bem conhecida:
Aqui
são os números inteiros das entradas da matriz.]
Passo 4
Vamos verificar que
de fato existe e é um número inteiro. Usamos propriedades básicas dos inteiros:
- Se
então (fechamento da multiplicação em ). - Se
então . - A diferença de dois inteiros é um inteiro, logo
.
Portanto, para qualquerdo domínio a expressão é bem definida como um número inteiro.
Passo 5
Verificamos agora que esse valor pertence ao contradomínio
. Como
, qualquer inteiro
é também um número real. Logo
para todo
.
Passo 6
Sobre unicidade: a fórmula
é uma expressão algébrica determinística — dadas as entradas
há exatamente um número que é
. Não há ambiguidade nem múltiplas escolhas na definição; portanto o valor é único. Sobre existência: a operação de multiplicar e subtrair inteiros sempre produz um inteiro, então o valor sempre existe. Assim, existência e unicidade estão satisfeitas.
Passo 7
Um exemplo concreto para intuição: para
temos
que é um inteiro e, portanto, um real. Isso ilustra os argumentos gerais acima.]
Passo 8
Conclusão do raciocínio: para todo
a expressão
existe, é única e pertence a
. Assim, todas as condições para que
seja uma função bem definida estão satisfeitas.
Resposta
Sim. Porque para
com
temos
, e a expressão
é única para cada
.]