Seja T a função de R^3 em R^3 definida por:
T(x1, x2, x3)=(x1-x2+2 x3, 2 x1+x2,-x1-2 x2+2 x3)
a) Verifique que T é uma transformação linear
b) Determine a imagem de T
c) Determine o posto de T

Passo 1

O enunciado define a transformação Tcolon R^3 to R^3 dada por T(x1,x2,x3) = (x1 - x2 + 2x3,;2x1 + x2,;-x1 -2x2 + 2x3). Pede: (a) verificar que T é linear, (b) determinar Im(T) e © calcular o posto de T. O conteúdo envolve transformação linear, matriz associada, imagem (espaço gerado por colunas) e posto (rank).

Passo 2

Para mostrar linearidade, observo que cada coordenada de T(x) é uma combinação linear de x1,x2,x3 sem termo constante. Mais formalmente, se u,vinR^3 e cinR, as operações de soma e multiplicação escalar preservam essas combinações lineares, ou seja, T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=c,T(u). Logo T é linear.

Passo 3

A matriz associada A de T na base canônica é obtida pelas imagens dos vetores canônicos:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,2,-1), T(e2)=(-1,1,-2), T(e3)=(2,0,2)
Assim
A= 1 & -1 & 2 2 & 1 & 0 -1 & -2 & 2

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Para achar uma base, faço eliminação de Gauss em A:
1 & -1 & 2 2 & 1 & 0 -1 & -2 & 2 to 1 & -1 & 2 0 & 3 & -4 0 & -3 & 4 to 1 & -1 & 2 0 & 3 & -4 0 & 0 & 0
Os pivôs estão nas colunas 1 e 2, logo
Im(T)=span(1,2,-1),;(-1,1,-2).

Passo 5

O posto de T é a dimensão de Im(T), isto é, o número de colunas pivô, que é 2. Logo rank(T)=2.

Resposta

a) T é linear. b) .

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