Provar que se X e Y são subespaços vetoriais de um espaço E, então
X+Y=S(X \cup Y) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados subespaços vetoriais X e Y de um espaço E, vale
X + Y = S(X \cup Y),
onde X+Y = \{x + y \mid x\in X,\;y\in Y\} e S(X\cup Y) é o menor subespaço de E que contém X\cup Y. Para isso vamos usar as definições de soma de subespaços, de span (gerador linear) e a propriedade de minimalidade do span.

Passo 2

Mostramos primeiro que X + Y é um subespaço de E que contém X\cup Y.
  1. Se x_1+y_1 e x_2+y_2 estão em X+Y, então (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = (x_1+x_2)+(y_1+y_2)e como X e Y são subespaços, x_1+x_2\in X e y_1+y_2\in Y. Logo a soma está em X+Y.
  2. Se \lambda\in \mathbb{K} e x+y\in X+Y, então \lambda(x+y) = (\lambda x) + (\lambda y)e \lambda x\in X, \lambda y\in Y, então \lambda(x+y)\in X+Y.
  3. Além disso, para cada x\in X basta tomar y=0\in Y para ver que x=x+0\in X+Y; analogamente cada y\in Y está em X+Y.
    Portanto X+Y é um subespaço que contém X\cup Y.

Passo 3

Como S(X\cup Y) é, por definição, o menor subespaço de E que contém X\cup Y, qualquer outro subespaço de E que contenha X\cup Y deve conter também S(X\cup Y). Em particular, X+Y contém X\cup Y, logo
S(X\cup Y) \;\subseteq\; X+Y.

Passo 4

Agora mostramos a outra inclusão X+Y\subseteq S(X\cup Y).
Como S(X\cup Y) é um subespaço que contém X e contém Y, para todo x\in X e y\in Y temos x\in S(X\cup Y) e y\in S(X\cup Y). Mas sendo subespaço, S(X\cup Y) é fechado em soma, então
x + y \;\in\; S(X\cup Y).
Como um elemento genérico de X+Y é x+y com x\in X, y\in Y, isso mostra
X+Y \;\subseteq\; S(X\cup Y).

Resposta

Da dupla inclusão concluímos
X + Y \;=\; S(X \cup Y).

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