Provar que se
e
são subespaços vetoriais de um espaço
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados subespaços vetoriais
e
de um espaço
, vale
onde
e
é o menor subespaço de
que contém
. Para isso vamos usar as definições de soma de subespaços, de span (gerador linear) e a propriedade de minimalidade do span.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é um subespaço de
que contém
.
- Se
e estão em , então e como e são subespaços, e . Logo a soma está em . - Se
e , então e , , então . - Além disso, para cada
basta tomar para ver que ; analogamente cada está em .
Portantoé um subespaço que contém .
Passo 3
Como
é, por definição, o menor subespaço de
que contém
, qualquer outro subespaço de
que contenha
deve conter também
. Em particular,
contém
, logo
Passo 4
Agora mostramos a outra inclusão
.
Como é um subespaço que contém
e contém
, para todo
e
temos
e
. Mas sendo subespaço,
é fechado em soma, então
Como
Como um elemento genérico de
é
com
,
, isso mostra
Resposta
Da dupla inclusão concluímos