Resolva cada um dos seguintes sitemas pelo Método das Matrizes Elementares.
(c) \left\{\begin{aligned} x-y+2 z-w & =-1 \\\\ 2 x+y-2 z-2 w & =-2 \\\\ -x+2 y-4 z+w & =-1 \\\\ 3 x-3 w & =-3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo Método das Matrizes Elementares o sistema linear
\begin{cases} x - y + 2z - w = -1,\\\\ 2x + y - 2z - 2w = -2,\\\\ -\,x + 2y - 4z + w = -1,\\\\ 3x \;-\;3w = -3. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas da matriz aumentada).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (A|\mathbf b):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & -1\\\\ 2 & 1 & -2 & -2 & -2\\\\ -1 & 2 & -4 & 1 & -1\\\\ 3 & 0 & 0 & -3 & -3 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar a coluna x abaixo:
\begin{aligned} L_2 &\leftarrow L_2 - 2L_1,\\\ L_3 &\leftarrow L_3 + L_1,\\\ L_4 &\leftarrow L_4 - 3L_1. \end{aligned}
Isso produz
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & -1\\\\ 0 & 3 & -6 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0 & -2\\\\ 0 & 3 & -6 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Note que a quarta linha ficou igual à segunda, então subtraímos L_4 \leftarrow L_4 - L_2, obtendo na linha 4 todos zeros:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & -1\\\\ 0 & 3 & -6 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Agora usamos a segunda linha como pivô para zerar a coluna y na terceira:
L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{1}{3}L_2.
Como \tfrac{1}{3}L_2 = [0,\;1,\;-2,\;0\mid 0], a operação dá
L_3 = [0,\,1,-2,\,0\mid -2] \;-\; [0,\,1,-2,\,0\mid 0] = [0,\,0,\,0,\,0\mid -2].

Passo 6

A linha resultante é
[0\;\;0\;\;0\;\;0\mid -2],
que representa a equação 0 = -2, uma contradição. Portanto o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema não tem solução.

Exercícios relacionados