Resolva cada um dos seguintes sitemas pelo Método das Matrizes Elementares. (b) \left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3} & =-0 \\\\ -2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3} & =-1 \\\\ 8 x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & =-1\end{aligned}\right. Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=0,\\\\ -2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=-1,\\\\ 8x_{1}+x_{2}+4x_{3}=-1 \end{cases} pelo método das matrizes elementares. Vamos escrever em forma matricial A x = b e aplicar matrizes elementares M_i à esquerda de A (e de b) para escalonar a matriz e checar consistência. Passo 2Escrevendo em forma matriz: A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ -2 & 5 & 2\\\\ 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -1 \end{pmatrix}. Passo 3Para zerar a_{21}=-2, usamos M_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, que faz R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}. Então M_{1}A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 7 & 4\\\\ 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad M_{1}b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -1 \end{pmatrix}. Passo 4Para zerar a_{31}=8, usamos M_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}, que faz R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}. Assim M_{2}M_{1}A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 7 & 4\\\\ 0 & -7 & -4 \end{pmatrix}, \qquad M_{2}M_{1}b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -1 \end{pmatrix}. Passo 5Para zerar a_{32}=-7, usamos M_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, que faz R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}. Logo M_{3}M_{2}M_{1}A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 7 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_{3}M_{2}M_{1}b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -2 \end{pmatrix}. Passo 6A terceira linha escalonada dá a equação 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3} = -2, ou seja 0=-2, impossível. Logo o sistema é incompatível. RespostaO sistema não possui solução. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosProvar que se X e Y são subespaços vetoriais de um espaço E, então X+Y=S(X \cup Y) . Sejam a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} números reais. Mostre que o conjunto H de todos os vetores v= \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}+a_{4} x_{4}=0 Resolva cada um dos seguintes sitemas pelo Método das Matrizes Elementares. (c) \left\{\begin{aligned} x-y+2 z-w & =-1 \\\\ 2 x+y-2 z-2 w & =-2 \\\\ -x+2 y-4 z+w & =-1 \\\\ 3 x-3 w & =-3\end{aligned}\right. Resolva cada um dos seguintes sitemas pelo Método das Matrizes Elementares. (d) \left\{\begin{aligned}-2 b+3 c & =1 \\\\ 3 a+6 b-3 c & =-2 \\\\ 6 a+6 b+3 c & =5\end{aligned}\right.