Resolva cada um dos seguintes sitemas pelo Método das Matrizes Elementares.
(b) \left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3} & =-0 \\\\ -2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3} & =-1 \\\\ 8 x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & =-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=0,\\\\ -2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=-1,\\\\ 8x_{1}+x_{2}+4x_{3}=-1 \end{cases}
pelo método das matrizes elementares. Vamos escrever em forma matricial A x = b e aplicar matrizes elementares M_i à esquerda de A (e de b) para escalonar a matriz e checar consistência.

Passo 2

Escrevendo em forma matriz:
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ -2 & 5 & 2\\\\ 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para zerar a_{21}=-2, usamos
M_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que faz R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}. Então
M_{1}A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 7 & 4\\\\ 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad M_{1}b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para zerar a_{31}=8, usamos
M_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que faz R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}. Assim
M_{2}M_{1}A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 7 & 4\\\\ 0 & -7 & -4 \end{pmatrix}, \qquad M_{2}M_{1}b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para zerar a_{32}=-7, usamos
M_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
que faz R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}. Logo
M_{3}M_{2}M_{1}A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 7 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M_{3}M_{2}M_{1}b = \begin{pmatrix} 0\\\ -1\\\ -2 \end{pmatrix}.

Passo 6

A terceira linha escalonada dá a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3} = -2,
ou seja 0=-2, impossível. Logo o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema não possui solução.

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