Sejam
números reais. Mostre que o conjunto
de todos os vetores
tais que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrarmos que ele é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: precisamos verificar que
-
, - se
então , - se
e então .
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
está em
. De fato, ao inserir
na equação
obtemos
. Logo,
não é vazio.
Passo 3
Agora tomemos dois vetores quaisquer
e
em
. Por definição,
A soma
satisfaz
Portanto
, o que prova a fechadura sob adição.
Passo 4
Se
e
, então
Multiplicando por
, ficamos com
logo
, o que mostra a fechadura sob multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto
satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial em
: contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço de
.