Prove que:
Dado
, tem-se
se, e somente se,
ou
Dado
Passo 1
O problema pede pra provar que, dado um número real c positivo, a desigualdade |x|>c é verdadeira exatamente quando x>c ou x<−c. O conteúdo é inequações envolvendo valor absoluto, e vamos precisar da definição de valor absoluto e do raciocínio por casos.
Passo 2
Lembrando a definição de valor absoluto: para todo real x
Passo 3
Primeiro, provamos que |x|>c implica x>c ou x<−c. Suponha |x|>c.
– Se x≥0, então |x|=x, logo x>c.
– Se x<0, então |x|=−x, logo −x>c. Multiplicando por −1 e invertendo a desigualdade, obtemos x<−c.
Assim, de |x|>c segue x>c ou x<−c.
– Se x≥0, então |x|=x, logo x>c.
– Se x<0, então |x|=−x, logo −x>c. Multiplicando por −1 e invertendo a desigualdade, obtemos x<−c.
Assim, de |x|>c segue x>c ou x<−c.
Passo 4
Agora, provamos a recíproca: se x>c ou x<−c, então |x|>c.
– Se x>c, como x≥0, temos |x|=x>c, logo |x|>c.
– Se x<−c, então x<0, logo |x|=−x. Como x<−c, temos −x>c, portanto |x|>c.
– Se x>c, como x≥0, temos |x|=x>c, logo |x|>c.
– Se x<−c, então x<0, logo |x|=−x. Como x<−c, temos −x>c, portanto |x|>c.
Passo 5
Como demonstramos as duas implicações, concluímos a equivalência desejada.