Prove que:
rllx & se & x >= 0 -x & se & x<0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a definição padrão de valor absoluto, baseada em raiz quadrada, resulta na forma em pedaços dada. O conteúdo aqui é valor absoluto e propriedades da função raiz quadrada em ℝ.

Passo 2

Por definição temos que para todo x real vale
|x| = raizx^2,
onde raizcdot indica a raiz não-negativa.

Passo 3

Agora analisamos dois casos para x:
Caso x >= 0. Como x já é não-negativo,
x >= 0 implies x^2 >= 0 e raizx^2=x,
porque a raiz não-negativa de um quadrado de número não-negativo é ele mesmo. Portanto |x|=x.

Passo 4

Caso x<0. Então -x>0, e temos
(-x)^2 = x^2 e raizx^2 = -x,
já que a raiz retorna o valor não-negativo e -x é o número não-negativo cujo quadrado é x^2. Logo |x|=-x.

Resposta

|x| = x, & x >= 0,-x,& x<0

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