Prove que 0<2 e 1<2.

Passo 1

Estamos trabalhando no corpo ordenado dos números reais. O enunciado pede para mostrar as desigualdades
0<2e1<2
Para isso vamos usar três propriedades básicas da ordem em R:
  1. 1>0 (axioma do corpo ordenado),
  2. monotonicidade da adição (se a<b então a+c<b+c),
  3. transitividade da desigualdade (se a<b e b<c então a<c).

Passo 2

Primeiro provamos que 1<2. Pela definição usual temos
2 = 1 + 1
Como sabemos que 0<1 e a adição preserva a ordem, basta somar 1 em ambos os lados de 0<1:
0 + 1 < 1 + 1,
ou seja,
1 < 2

Passo 3

Agora provamos que 0<2. Já temos
0 < 1 e 1 < 2
Pela transitividade da desigualdade segue
0 < 2

Resposta

0<2e1<2

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