Prove que
e
.
Passo 1
Estamos trabalhando no corpo ordenado dos números reais. O enunciado pede para mostrar as desigualdades
Para isso vamos usar três propriedades básicas da ordem em
:
-
(axioma do corpo ordenado), - monotonicidade da adição (se
então ), - transitividade da desigualdade (se
e então ).
Passo 2
Primeiro provamos que
. Pela definição usual temos
Como sabemos que
e a adição preserva a ordem, basta somar
em ambos os lados de
:
ou seja,
Passo 3
Agora provamos que
. Já temos
Pela transitividade da desigualdade segue