Sejam
. Se
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que se temos dois inteiros
e
tais que
e
, então o produto
também é negativo. O conteúdo aqui é prova por indução aproveitando a definição de multiplicação como soma repetida. Como
, podemos escrever
para algum inteiro positivo
. Definimos a seguinte proposição para todo
:
. Vamos provar
por indução em
.
Passo 2
Caso base (
):
Observação do passo base: Pela hipótese , temos diretamente
Observação do passo base: Pela hipótese
Passo 3
Passo indutivo: Suponha que para algum
valha
. Então, Demonstração do passo indutivo: Usando a definição de soma repetida, temos
Pela hipótese indutiva
e pela hipótese inicial
, a soma de dois números negativos é negativa, logo,
portanto
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 4
Conclusão: Pela prova por indução,
vale para todo
. Como
, concluímos que, finalização: