Sejam a, b in Z. Se a<0 e 0, prove que a cdot b<0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que se temos dois inteiros a e b tais que a<0 e 0, então o produto acdot b também é negativo. O conteúdo aqui é prova por indução aproveitando a definição de multiplicação como soma repetida. Como b>0, podemos escrever b=n para algum inteiro positivo n>=1. Definimos a seguinte proposição para todo ninN: P(n): ncdot a<0. Vamos provar P(n) por indução em n.

Passo 2

Caso base ( n=1):
Observação do passo base: Pela hipótese a<0, temos diretamente
1cdot a = a < 0

Passo 3

Passo indutivo: Suponha que para algum k>=1 valha kcdot a<0. Então, Demonstração do passo indutivo: Usando a definição de soma repetida, temos
(k+1)cdot a = kcdot a + a
Pela hipótese indutiva kcdot a<0 e pela hipótese inicial a<0, a soma de dois números negativos é negativa, logo,
kcdot a + a < 0 + 0 = 0,
portanto (k+1)cdot a<0. Isso completa o passo indutivo.

Passo 4

Conclusão: Pela prova por indução, P(n) vale para todo n>=1. Como b=n, concluímos que, finalização:
acdot b = ncdot a < 0

Resposta

acdot b<0

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