Prove que não existe x in Z tal que (x cdot x)+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro x tal que
x^2 + 1 = 0
O conteúdo aqui é teoria dos números inteiros, mais precisamente a propriedade de que todo quadrado de inteiro é não–negativo.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista xinZ satisfazendo
x^2 + 1 = 0
Isolando, temos
x^2 = -1

Passo 3

Por definição de quadrado em Z, para todo xinZ vale
x^2 >= 0
De fato, se x>=0 então x^2>=0, e se x<0 escrevemos x=-y com y>0, ficando x^2=y^2>=0.

Passo 4

A igualdade x^2=-1 implica x^2<0, o que contraria a propriedade x^2>=0. Logo, nossa suposição leva a contradição e não pode existir tal x.

Resposta

Não existe xinZ tal que x^2 + 1 = 0.

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