Verifique que o vetor é uma solução do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais:
dxdt = -2x + 5y
dydt = -2x + 4y
E nos estão pedindo para verificar se o vetor
X(t) = 5 cos t 3 cos t - sin t e^t
é uma solução desse sistema. Para isso, vamos precisar usar derivadas de funções vetoriais e substituir os valores na equação para ver se tudo bate certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada do vetor X(t). A derivada de um vetor é só a derivada de cada componente. Então:
dXdt = ddt ( 5 cos t 3 cos t - sin t e^t )
Usando a regra do produto (porque temos uma função multiplicando o vetor), isso fica:
dXdt = ddt(5 cos t) ddt(3 cos t - sin t) e^t + 5 cos t 3 cos t - sin t ddt(e^t)
Passo 3
Vamos calcular cada derivada separadamente:
ddt(5 cos t) = -5 sin t
ddt(3 cos t - sin t) = -3 sin t - cos t
ddt(e^t) = e^t
Substituindo de novo na expressão da derivada do vetor:
dXdt = -5 sin t -3 sin t - cos t e^t + 5 cos t 3 cos t - sin t e^t
Agora, vamos juntar os termos:
dXdt = e^t -5 sin t + 5 cos t -3 sin t - cos t + 3 cos t - sin t = e^t 5 cos t -5 sin t 2 cos t -4 sin t
Passo 4
Agora, vamos substituir x e y pelas componentes do vetor X(t) nas equações do sistema para ver se o que a gente calculou acima bate.
Para a primeira equação:
-2x + 5y = -2(5 cos t e^t) + 5(3 cos t - sin t) e^t
= (-10 cos t + 15 cos t -5 sin t) e^t
= (5 cos t -5 sin t) e^t
Para a segunda equação:
-2x + 4y = -2(5 cos t e^t) + 4(3 cos t - sin t) e^t
= (-10 cos t + 12 cos t -4 sin t) e^t
= (2 cos t -4 sin t) e^t
Passo 5
Vamos comparar o que a gente calculou na derivada com o que veio das equações do sistema:
dXdt = e^t 5 cos t -5 sin t 2 cos t -4 sin t
= -2x +5y -2x +4y
Como as duas expressões são iguais, isso confirma que o vetor X(t) satisfaz as equações do sistema.
Resposta
Sim, o vetor X(t) é uma solução do sistema diferencial dado.