Prove que:
sumn=1^+infty 1(2 n-1)(2 n+1)=12

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série
sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1)
converge para tfrac12. O conteúdo aqui é séries telescópicas, e vamos usar decomposição em frações parciais seguida de cancelamento telescópico.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Multiplicando por (2n-1)(2n+1), obtém-se
1 = A(2n+1) + B(2n-1) = (A+B),2n + (A - B)
Igualando coeficientes de n e do termo independente, vem
A+B = 0, A - B = 1Longrightarrow A=tfrac12,;B=-tfrac12
Logo
1(2n-1)(2n+1) = 12l(12n-1 - 12n+1r)

Passo 3

Considere a soma parcial
SN = sumn=1^N 1(2n-1)(2n+1)
Substituindo a forma telescópica,
SN = 12 sumn=1^Nl(12n-1 - 12n+1r)
Ao expandir, nota-se o cancelamento de termos intermediários:
SN = 12l(11 - 13 + 13 - 15 + cdots + 12N-1 - 12N+1r) = 12l(1 - 12N+1r)

Passo 4

Tomando Ntoinfty, temos 12N+1to0. Logo
limNtoinfty SN = 12,(1-0) = 12

Resposta

sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) = 12

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