Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e
são iguais. Vamos usar o conceito de limite (definição ε–δ) e a ideia de composição de funções.
Passo 2
Suponha que
exista. Pela definição de limite, para todo
existe
tal que se
então
.
Passo 3
Para controlar
, basta fazer
. Como
, defina
. Assim, sempre que
teremos
e logo
.
Passo 4
Isso mostra que
. De forma análoga, trocando a variável inversamente, vê-se que se
existe e vale
, então
. Portanto ambos os limites existem juntos e coincidem.