Prove que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limxto0f(x) e limxto0f(x^3) são iguais. Vamos usar o conceito de limite (definição ε–δ) e a ideia de composição de funções.

Passo 2

Suponha que L=limxto0f(x) exista. Pela definição de limite, para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se |x| então |f(x)-L|.

Passo 3

Para controlar |f(x^3)-L|, basta fazer |x^3|. Como |x^3|=|x|^3, defina de. Assim, sempre que |x| teremos |x^3| e logo |f(x^3)-L|.

Passo 4

Isso mostra que limxto0f(x^3)=L. De forma análoga, trocando a variável inversamente, vê-se que se limxto0f(x^3) existe e vale M, então limxto0f(x)=M. Portanto ambos os limites existem juntos e coincidem.

Resposta

limxto0f(x)=limxto0f(x^3).

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