Prove que |p|^2=|p-|^2+|p+|^2.

Passo 1

O enunciado pede provar que
lvert prvert^2 ;=;lvert p-rvert^2 ;+;lvert p+rvert^2,
onde, ponto a ponto, definimos
p+(x)=maxp(x),0, p-(x)=minp(x),0
O conteúdo é a decomposição de uma função ou valor em sua parte positiva e negativa e a propriedade de soma de quadrados.

Passo 2

Primeiro notamos que, para todo x,
p(x)=p+(x)+p-(x),
pois se p(x)>=0 então p+(x)=p(x) e p-(x)=0, e se p(x)<=0 então p+(x)=0 e p-(x)=p(x). Em qualquer dos casos temos ainda
p+(x),p-(x)=0,
pois pelo menos um dos dois termos é zero.

Passo 3

Agora basta expandir o quadrado ponto a ponto:
p(x)^2 = l(p+(x)+p-(x)r)^2 = p+(x)^2 ;+;2,p+(x),p-(x);+;p-(x)^2 = p+(x)^2 + p-(x)^2
Como isso vale para cada x, concluímos que
lvert prvert^2 = lvert p+rvert^2 + lvert p-rvert^2

Resposta

lvert prvert^2 = lvert p-rvert^2 + lvert p+rvert^2

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