Sejam p, q in H. Prove que sc(p+ barq-)=sc(p- barq+)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra dos Quaternions, que é uma extensão dos números complexos. A questão pede para provar que, para dois quaternions p e q , as partes escalares de p+ barq- e p- barq+ são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as partes p+ e p- de um quaternion, além de como funciona o conjugado de um quaternion.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um quaternion p pode ser representado como p = p+ + p- , onde p+ é a parte escalar (um número real) e p- é a parte vetorial (composta por i, j, k ). Ou seja:
p = p+ + p-
q = q+ + q-

Passo 3

O conjugado de um quaternion q é dado por:
barq = q+ - q-
Isso significa que:
barq+ = q+
barq- = -q-

Passo 4

Agora, vamos calcular p+ barq- :
p+ barq- = p+ cdot (-q-) = -p+ q-
Como p+ é um número real e q- é a parte vetorial de q , o produto de um escalar real por um vetor resulta em um vetor. A parte escalar desse produto é zero, pois não há componente real.

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular p- barq+ :
p- barq+ = p- cdot q+
Aqui, q+ é um número real e p- é a parte vetorial de p . Novamente, o produto de um escalar real por um vetor resulta em um vetor, cuja parte escalar é zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
sc(p+ barq-) = 0
sc(p- barq+) = 0

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