Sejam
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra dos Quaternions, que é uma extensão dos números complexos. A questão pede para provar que, para dois quaternions
e
, as partes escalares de
e
são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as partes
e
de um quaternion, além de como funciona o conjugado de um quaternion.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um quaternion
pode ser representado como
, onde
é a parte escalar (um número real) e
é a parte vetorial (composta por
). Ou seja:
Passo 3
O conjugado de um quaternion
é dado por:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Como
é um número real e
é a parte vetorial de
, o produto de um escalar real por um vetor resulta em um vetor. A parte escalar desse produto é zero, pois não há componente real.
Passo 5
Da mesma forma, vamos calcular
:
Aqui,
é um número real e
é a parte vetorial de
. Novamente, o produto de um escalar real por um vetor resulta em um vetor, cuja parte escalar é zero.
Resposta
Portanto, mostramos que: