Seja
, onde
. Prove que
Passo 1
O enunciado está pedindo para escrever o quaternião
como soma de duas partes
e
obtidas “projetando” sobre os subespaços próprios de multiplicação pela unidade imaginária
.
Em quaterniões definimos os idempotentes
Em quaterniões definimos os idempotentes
Eles satisfazem
O conteúdo é decomposição de um quaternião em “autovalores”
do operador “multiplicação à esquerda por
”.
Passo 2
Definimos então
Pelo fato de
temos imediatamente
Além disso
ou seja
é “autovetor” de autovalor
; e análogamente
.
Passo 3
Só resta calcular explicitamente
Expandindo termo a termo e usando
obtemos
Por outro lado, se nos propomos a fatorar essa soma como
vezes algo que viva apenas em
, escrevemos
De fato,
o que reproduz exatamente
depois de remarcar os coeficientes.
Portanto
depois de remarcar os coeficientes.
Portanto
Passo 4
O cálculo de
é inteiramente análogo:
e isso se reagrupa como
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