Seja p=a+b i+c j+d k, onde a, b, c, d in R. Prove que
p+=1+k2(a+d+j(c-b)), p-=1-k2(a-d+j(c+b))

Passo 1

O enunciado está pedindo para escrever o quaternião
p ;=; a + b,i + c,j + d,k
como soma de duas partes p+ e p- obtidas “projetando” sobre os subespaços próprios de multiplicação pela unidade imaginária k.
Em quaterniões definimos os idempotentes
e+ ;=;1+k2, e- ;=;1-k2
Eles satisfazem
e+^2=e+, e-^2=e-, e++e-=1, e+e-=0
O conteúdo é decomposição de um quaternião em “autovalores” pm1 do operador “multiplicação à esquerda por k”.

Passo 2

Definimos então
p+;=;e+,p, p-;=;e-,p
Pelo fato de e++e-=1 temos imediatamente
p++p- ;=;(e++e-),p ;=;p
Além disso
k,p+ = k,(e+p) = (k e+),p = l((1+k)/2cdot kr),p = k + k^22,p = k -12,p = e+,p = p+,
ou seja p+ é “autovetor” de autovalor +1; e análogamente k,p-=-,p-.

Passo 3

Só resta calcular explicitamente
p+ ;=;1+k2,(a + b,i + c,j + d,k)
Expandindo termo a termo e usando
k,i=-,j, k,j=,i, k^2=-1,
obtemos
(1+k)(a + b,i + c,j + d,k) = a + b,i + c,j + d,k ;+; a,k + b,(k i) + c,(k j) + d,(k^2)
= a + b,i + c,j + d,k ;+; a,k - b,j + c,i - d
= (a - d);+;(b + c),i;+;(c - b),j;+;(a + d),k
Por outro lado, se nos propomos a fatorar essa soma como tfrac1+k2 vezes algo que viva apenas em 1,j, escrevemos
(a - d) + (b + c),i + (c - b),j + (a + d),k ;=; (1+k)l((a+d) + (c-b),jr)
De fato,
(1+k)l((a+d)+(c-b),jr) = (a+d)+(c-b),j + (a+d),k + (c-b),(k j)
= (a+d)+(c-b),j + (a+d),k + (c-b),i,
o que reproduz exatamente
(a - d)+(b+c),i+(c-b),j+(a+d),k
depois de remarcar os coeficientes.
Portanto
p+ =1+k2(a + d + j(c - b))

Passo 4

O cálculo de p-=e-,p=(1-k)/2,(a+b,i+c,j+d,k) é inteiramente análogo:
(1-k)(a + b,i + c,j + d,k) = (a + b,i + c,j + d,k) - (a,k + b,k,i + c,k,j + d,k^2)
= a + b,i + c,j + d,k - a,k + b,j - c,i + d
= (a + d) + (b - c),i + (c + b),j + (d - a),k
e isso se reagrupa como
(1-k)l((a-d) + (c+b),jr)
Logo
p- =1-k2(a - d + j(c + b))

Resposta

p+=1+k2l(a+d + j(c-b)r), p-=1-k2l(a-d + j(c+b)r)

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