Sejam p=1-i-j-k e q=j+k. Calcule (a) p^2+p+^2-p-^2; (b) p+p+-p+ p- ;(c) p+p+ q+p-(i+q) ;(d) p+^3-p- q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas quatérnions dadas por p = 1 - i - j - k e q = j + k . A questão pede para calcular algumas expressões envolvendo p e q . Para resolver isso, vamos precisar entender como operar com quatérnions: soma, multiplicação, conjugado e potências. Vamos passo a passo para descomplicar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são quatérnions. Um quatérnion tem a forma a + b,i + c,j + d,k , onde a, b, c, d são números reais, e i, j, k são unidades imaginárias que seguem certas regras de multiplicação, por exemplo, i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 .

Passo 3

Vamos calcular p^2 . Para isso, multiplicamos p por ele mesmo:
p = 1 - i - j - k
p^2 = (1 - i - j - k)(1 - i - j - k)
Aplicando a distributiva:
p^2 = 1^2 + (-i)^2 + (-j)^2 + (-k)^2 + 2(-i)(-j) + 2(-i)(-k) + 2(-j)(-k)
p^2 = 1 + i^2 + j^2 + k^2 + 2ij + 2ik + 2jk
Sabendo que i^2 = j^2 = k^2 = -1 e ij = k , ik = -j , jk = i :
p^2 = 1 - 1 - 1 - 1 + 2k - 2j + 2i
p^2 = -2 + 2i - 2j + 2k

Passo 4

Agora, vamos calcular p+ e p- . Suponho que p+ e p- sejam partes específicas de p (como parte positiva e negativa), mas sem uma definição clara, vou assumir que sejam duas componentes ou operações específicas. Para simplificar, vou considerar p+ = p e p- = p , onde p é o conjugado de p :
p = 1 + i + j + k

Passo 5

Vamos calcular p+^2 :
p+^2 = p^2 = -2 + 2i - 2j + 2k
E p-^2 :
p-^2 = p^2 = (1 + i + j + k)^2
= 1 + i^2 + j^2 + k^2 + 2ij + 2ik + 2jk
= 1 -1 -1 -1 + 2k - 2j + 2i
= -2 + 2i - 2j + 2k

Passo 6

Agora, vamos calcular a parte (a): p^2 + p+^2 - p-^2 :
p^2 = -2 + 2i - 2j + 2k
p+^2 = -2 + 2i - 2j + 2k
p-^2 = -2 + 2i - 2j + 2k
Substituindo:
p^2 + p+^2 - p-^2 = (-2 + 2i - 2j + 2k) + (-2 + 2i - 2j + 2k) - (-2 + 2i - 2j + 2k)
= (-2 -2 +2) + (2i +2i -2i) + (-2j -2j +2j) + (2k +2k -2k)
= (-2) + (2i) + (-2j) + (2k)
= -2 + 2i - 2j + 2k

Resposta

(a) p^2 + p+^2 - p-^2 = -2 + 2i - 2j + 2k

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