Seja p=a+b i+c j+d k, onde a, b, c, d in R. Prove que
p+=(a+d+i(b-c)) 1+k2, p-=(a-d+i(b+c)) 1-k2

Passo 1

Vamos usar os idempotentes quaterniónicos
Eles satisfazem
Assim todo quaternion pode ser escrito de modo único como
onde definimos
para certos “coeficientes” em . O objetivo é mostrar que esses coeficientes são exatamente
isto é,

Passo 2

Vamos agora expandir explicitamente
p+=(a+d+i(b-c));1+k2 e p-=(a-d+i(b+c));1-k2,
e verificar que a soma dá de fato p=a+bi+cj+dk.

Passo 3

Calculemos primeiro
X:=(a+d+i(b-c)),(1+k)
Usando
i,k=-,j
e distribuindo,
X&=(a+d)(1+k)+(b-c),i,(1+k) &=(a+d)+(a+d)k+(b-c)l(i+i,kr) &=(a+d)+(a+d)k+(b-c)l(i-jr) &=(a+d)+(b-c)i+(c-b)j+(a+d)k
Logo
p+=X2 =(a+d)+(b-c)i+(c-b)j+(a+d)k2

Passo 4

Agora
Y:=(a-d+i(b+c)),(1-k)
Como
i,(-k)=-,i,k=j e 1cdot(-k)=-k, temos
Y&=(a-d)(1-k)+(b+c),i,(1-k) &=(a-d)-(a-d)k+(b+c)l(i-i,kr) &=(a-d)-(a-d)k+(b+c)l(i+jr) &=(a-d)+(b+c)i+(b+c)j-(a-d)k
Portanto
p-=Y2 =(a-d)+(b+c)i+(b+c)j-(a-d)k2

Passo 5

Somando p++p-=tfrac12(X+Y), obtemos
X+Y =l[(a+d)+(a-d)r] +l[(b-c)+(b+c)r]i +l[(c-b)+(b+c)r]j +l[(a+d)-(a-d)r]k
=2a+2b,i+2c,j+2d,k =2,(a+bi+cj+dk)=2p
Logo
p++p-=2p2=p,
como queríamos.

Resposta

p+=(a+d+i(b-c)),1+k2, p-=(a-d+i(b+c)),1-k2

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