Seja
, onde
. Prove que
Passo 1
Vamos usar os idempotentes quaterniónicos
Eles satisfazem
Assim todo quaternion
pode ser escrito de modo único como
onde definimos
para certos “coeficientes” em . O objetivo é mostrar que esses coeficientes são exatamente
isto é,
Passo 2
Vamos agora expandir explicitamente
e verificar que a soma dá de fato
.
Passo 3
Calculemos primeiro
Usando
e distribuindo,
e distribuindo,
Logo
Passo 4
Agora
Como
e
, temos
Portanto
Passo 5
Somando
, obtemos
Logo
como queríamos.